Anfangswertprobleme in geeigneten Intervallen

Question

Wie kann ich folgende Anfangswertprobleme in den geeigneten Intervallen  lösen?

1)                    y' = y² − y − 2,             y(0) =  0

2)                    y' = (1+y)x ,                  y'(0)= -1

3)                    x²y² y'= 1                      y(1)= -1

Answer 1

Hier mal mein Lösungsversuch von der ersten:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { 1.) } y^{\prime}=y^{2}-y-2 \\ \frac{d y}{d x}=y^{2}-y-2\end{array} \quad y(0)=0 \)
\( \int \frac{d y}{y^{2}-y-2}=\int \frac{d y}{(y+1)(y-2)}=\int d x \)
mit Parkalbruchzerlegung:
\( \Rightarrow \int\left(-\frac{1}{3(y+1)}+\frac{1}{3(y-2)}\right) d y=\int d x \)
\( \left.\Rightarrow \frac{1}{3}(-\ln | y+1)+\ln (y-2)\right)=x+\tilde{c} \)
\( \Rightarrow \ln \frac{y-2}{y+1}=3 x+\widetilde{c} \)
\( \Rightarrow \frac{y-2}{y+1}=c \cdot e^{3 x} \)
\( \Rightarrow y-2=y \cdot c \cdot e^{3 x}+c \cdot e^{3 x} \)
\( y\left(1-c \cdot e^{3 x}\right)=c \cdot e^{3 x}+2 \)
\( y=\frac{c \cdot e^{3 x}+2}{1-c \cdot e^{2 x}} \)
\( y(0)=0 \Rightarrow c \cdot e^{3 \cdot \theta}+2=0 \Rightarrow c=-2 \)
\( y=\frac{2-2 e^{3 x}}{1+2 \cdot e^{3 x}} \)