Okay, das ist ein starkes Argument- ich versuche es nochmal :):
Nachrechnen ergibt:
$$i^n+(-i)^n=-2i$$ für alle n=3,7,11 bzw. n=3+4l
$$i^n+(-i)^n=2$$ für alle n=4,8,12 bzw. n= 4k
Es ergibt sich also, wenn man alle Fälle ungleich 0 betrachtet.:
$$i^n+(-i)^n= i^{3+4l}+(-i)^{3+4l}+i^{4k}+(-i)^{4k}=(-2i)^{3+4l}+2^{4k}$$
Man setze also $$z=(-2i)^{3+4l}+2^{4k}$$, da es sich hierbei um eine komplexe Zahl der Form a+bi handeldelt.
Für die Aufgabe ergibt sich dann:
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\frac{iz^n}{n}+ \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\frac{(-iz)^n}{n}$$
$$= \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\frac{z^n}{n} (i^n+(-i)^n)$$
$$= \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\frac{z^n}{n} (i^{3+4l}+(-i)^{3+4l}+i^{4k}+(-i)^{4k})$$
$$= \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\frac{z^n}{n}((-2i)^{3+4l}+2^{4k})$$
$$= \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\frac{z^n}{n}(z^n)$$
$$= \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\frac{z^{2n}}{n}$$
$$ =P(z^2)$$
Sind dort halbwegs brauchbare Ansätze bei?
