Aloha :)
Wir schreiben die Abbildung \(f\) zunächst als Matrix \(F_{E_2}^{E_3}\) bezüglich den Standardbasen \(E_2\) und \(E_3\):$$f(x,y,z)=\binom{3x+2y+z}{y-x+2z}=\binom{3}{-1}x+\binom{2}{1}y+\binom{1}{2}z=\underbrace{\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)}_{=F_{E_2}^{E_3}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Diese Abbildungsmatrix soll nun so transformiert werden, dass sie Eingangsgrößen bezüglich der Basis \(B\) akzeptiert und Ausgangsgrößen bezüglich der Basis \(C\) liefert. Gesucht ist also \(F_C^B\). Die Übergangsmatrizen beider Basen in die jeweilige Standardbasis erhalten wir, indem wir die Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreiben:$$\operatorname{id}_{E_3}^B=\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\operatorname{id}_{E_2}^C=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)$$Beim Zusammenbau der folgenden Transformation musst du darauf achten, dass die Ausgabebasis der rechten Matrix zur Eingabebasis der linken Matrix passt. Wegen der Notation \(A_{\text{Ausgabe-Basis}}^{\text{Eingabe-Basis}}\) kann man sich merken: "Was rechts unten rausfällt, muss links oben reinpassen.":
$$F_C^B=\operatorname{id}_C^{E_2}\cdot F_{E_2}^{E_3}\cdot\operatorname{id}_{E_3}^B=\left(\operatorname{id}_{E_2}^C\right)^{-1}\cdot F_{E_2}^{E_3}\cdot\operatorname{id}_{E_3}^B$$Die Transformationsmatrix \(\operatorname{id}_C^{E_2}\) fehlt uns, was aber nicht schlimm ist, weil wir sie durch Invertierung der Matrix \(\operatorname{id}_{E_2}^C\) berechnen können. Damit haben wir schließlich:
$$F_C^B=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\-2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5 & 11 & 9\\3 & -2 & 1\end{array}\right)$$$$F_C^B=\left(\begin{array}{c}5 & 11 & 9\\-7 & -24 & -17\end{array}\right)$$
In dem Diagramm würde ich die durchgeführte Transformation darstellen:$$B\stackrel{\operatorname{id}^B_{E_3}}\to E_3\stackrel{F_{E_2}^{E_3}}\to E_2 \stackrel{\operatorname{id}^{E_2}_C}\to C$$Da weiß ich allerdings nicht, welche Notation ihr im Unterricht verwendet habt. Habt ihr auch den Rückweg beschrieben?
