Grenzwert konvergenter Reihe 1/(2k)!

Question

Hallo, ich möchte den Grenzwert der konvergenten Reihe 1/(2k)! von k=1 bis unendlich berechnen.

Nun komm ich jedoch nicht wirklich weiter. Grundlegend ist ja klar, dass die konvergente Reihe 1/k! von k=0 bis unendlich = e ist.

Nur muss ich ja die gegebene Reihe umformen, kann mir da jemand helfen?

Comments

Tipp:  ∑_k=0,...,∞ (-1)^k/k! = 1/e  sollte auch bekannt sein. Addiere beide Reihen.

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Durch die Addition sollte dann ja ((-1)^k)+1)/k! Rauskommen und wie machen ich dann weiter?

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Beachte, dass (-1)^k + 1 = 0 für alle ungeraden k ist.

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Ja und für alle gerade ist es 2. Bei allen gerade k steht dann also 2/k! Aber was genau bringt mir das denn

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Du hast dann$$\mathrm e+\frac1{\mathrm e}=\frac2{0!}+\frac2{2!}+\frac2{4!}+\frac2{6!}+\ldots=2\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k)!}.$$

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Jetzt hab ichs verstanden. Wegen einer Sache war ich mir noch nicht sicher. Du meintest ja dass für alle ungeraden k im Zähler 0 steht. Dann wäre die Reihe aber doch 2/0! + 0/2! + 2/4! Usw. Da bei jedem ungeraden k eben oben 0 stehen muss.

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Nein. Die Reihe lautet \(\dfrac2{0!}+\dfrac0{1!}+\dfrac2{2!}+\dfrac0{3!}+\dfrac2{4!}+\dfrac0{5!}+\dfrac2{6!}+\dfrac0{7!}+\dots\).

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das soll ja die Reihe ganz rechts sein, aber dort steht doch 1/2k!

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Du meinst 1/(2k)!. Der gemeinsame Zähler wurde ausgeklammert.