Funktionenschar Extrempunkte berechnen

Question

Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa (a * R). Für welche Werte von a hat der Graph von fa Extrempunkte auf der x‐Achse?
a) f (x)=x2 –ax+4

Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

f '(x)=2x-a+4. Extrema für x=(a-4)/2. Auf der x- Achse ist f_a(x)=x² –ax+4=0. Nach Einsetzen von x=(a-4)/2 ergibt sich ((a-4)/2)² - a(a-4)/2+4=0. Nach a auflösen.

Answer 2

Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa (a * R). Für welche Werte von a hat der Graph von fa Extrempunkte auf der x‐Achse?

a) f (x) = x^2 – ax + 4
f ´( x ) = 2x - a
Extrempunkte
2x - a = 0
x = a/2
Jetzt nachschauen bei welchem a  y = null ist
f (x) = x^2 – ax + 4
f (a/2) = (a/2)^2 – a*(a/2) + 4 = 0
a^2 /4 – a^2 / 2 + 4 = 0
- a^2/4 = -4
a^2 = 16

a = + 4
a = - 4

Das Ergebnis wurde graphisch überprüft.

Answer 3

Hallo Anna,

Wenn der Extrempunkt (der Scheitel) einer Parabel auf der X-Achse liegt, so hat die Parabel dort eine doppelte Nullstelle und folglich die Form$$f(x) = k(x-x_0)^2$$oder anders ausgedrückt: nehme die Scheitelpunktform der Parabel und setze dort das \(y_s=0\), dann erhältst Du die gleiche Form. Ausmultipliziert ergibt sich$$f(x) = \underbrace{k}_{=1}x^2 - \underbrace{ 2kx_0}_{=a}x + \underbrace{kx_0^2}_{=4} = x^2 - ax + 4 \\ \implies k=1, \quad x_0 = \pm 2 \\ \implies a = 2kx_0 = \pm 4$$

~plot~ x^2-4x+4;x^2-3.5x+4;x^2-4.5x+4;4-x^2 ~plot~

die blaue Parabel steht für den Fall \(a=+4\) und die pinkfarbende nach unten offene Parabel für die Lage aller Extrempunkte, je nach dem, wie man \(a\) wählt.