Nullstellen bei Funktion 3.Grades?

Question

Kann mir jemand helfen die Nullstellen folgender Funktion auszurechnen? Ich komm gar nicht weiter :(

F'(x)= -6x²+20x^4-4x

Answer 1

Nullstellen bei Funktion 3.Grades?

Du weißt schon das du eine Funktion 4. Grades aufgeschrieben hast oder ist die verkehrt?

- 6·x^2 + 20·x^4 - 4·x = 0
2·x·(10·x^3 - 3·x - 2) = 0 → x1 = 0

10·x^3 - 3·x - 2 = 0 → Hier findet man nur eine Nullstelle mit einem Näherungsverfahren oder über die Lösungsformel des Taschenrechners. x2 = 0.7522

Answer 2

Eine Nullstelle liegt bei \(x_1=0\). Die zweite kannst du durch Näherungsverfahren bestimmen, z. B. Newton-Verfahren.

\( x_2 \approx 0.752244077807115 \)

Answer 3

0=20*x^4-6*x²-4*x  → x1=0 das sieht man so schon,weil nur Terme mit x vorkommen

0=x*(20*x³-6*x-4)  kann man so nicht lösen

1) eine Wertetabelle aufstellen von x1=-5 bis xn=5 Schrittweite=1

2) prüfen,ob ein Vorzeichenwechsel statt findet

3) findet ein Vorzeichenwechsel statt,so liegt zwischen den beiden x-Werten mindestens 1 Nullstelle

4) durch probieren den Wert verbessern

5) einer der beiden Näherungsformeln anwenden von Newton (Tangentenverfahren) oder Regula falsi (Sehnenverfahren)

Am einfachsten mit einem Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe.

x2=0,752..  und 2 konjugiert komplexe Lösungen z1=0,376+i 0,3527  z2=0,376-i 0,3527

siehe Mathe-Formelbuch,komplexe Zahlen

hier Infos per Bild,vergrößern und/oder herunterladen

~plot~20*x^4-6*x^2-4*x;[[-3|3|-5|10]]~plot~

Answer 4

Den primitiven Teil mit der Ausklammerung von 2x und der dazugehörigen primitiven Nullstelle bei x= 0 überspringe ich mal.

Wenn Du Dich nicht verschrieben hast (denn Lehrer stellen selten Aufgaben mit Ergebnissen die irrational sind -> da wird extra eine leichte ganzzahlige Nullstelle verwendet oder nur eine Näherungslösung gefragt)

und Dich für eine exakte Lösung von 10x^3-3x-2=0 interessierst, die über den Schulstoff hinaus geht, dann lese weiter.

Schon länger als 400 Jahre ist bekannt: https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Da das sehr kompliziert ist und noch Fallunterscheidungen berücksichtigt werden müssen, haben schlaue Leute mit Hilfe von komplexen Zahlen eine fertige explizite Lösungsformel entwickelt.

So wie es bei Gleichungen 2. Grades die pq-Lösungsformel gibt, so gibt es für Gleichungen 3. Grades die PQRST-Formel:

https://www.lamprechts.de/gerd/Bilder/QuadratischeGleichung_p-q-Formel_KubischeGleichung_PQRST-Formel.png

Der online-Rechner unter https://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet beide Algorithmen mit Zwischenergebnissen (grau) vor:

Für das eine Ergebnis ohne komplexen Anteil habe ich mal die lange Wurzel-Formel gekürzt:

x₃ = ((100 - 30 sqrt(10))^(1/3) + (100 + 30 sqrt(10))^(1/3))/10

    = 0.7522440778071148873131668399...

Hinweise:

sqrt(x)= x^(1/2) = x^0.5 = 2. Wurzel(x)

x^(1/3) = 3. Wurzel von x