Beweise: Q liegt dicht in R

Question

Ich sitze an folgendem Problem aus meiner Übung:

Wir sollen beweisen, dass folgende Aussage O.B.d.A gültig ist:

Sei x ein Element der reellen Zahlen, größer Null, dann existiert ein z als Element der rationalen Zahlen mit:

0 < z < x.

Zur Lösung können wir lediglich das Archimedische Axiom und einige Grundlagengesetze verwenden.

Ich glaube das Problem prinzipiell verstanden zu haben: Es ist ja offensichtlich, dass zwischen zwei reellen Zahlen beliebig viele rationale Zahlen liegen.

Zwar bin ich in der Lage Ungleichungen umzuformen, aber ich habe meine Schwierigkeiten damit, Ungleichungen zu beweisen. 

Es wäre vielleicht schön, wenn mir jemand ggf. eine Literatur Empfehlung geben könnte, damit ich das Beweisen von Ungleichungen üben kann.

Ferner wäre ich sehr dankbar, wenn man mir die Lösungsschritte etwas genauer erklärt.

LG.

Comments

https://www.mathelounge.de/648130/verstandnisfrage-zu-schonem-beweis-dass-dicht-in-liegt

Hier wurde schon mal ein Beweis ausgeführt, vielleicht hilft dir das ja.

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Wofür steht das o.B.d.A.?

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Bitte, Leute, schreibt mir jetzt nicht, was die Abkürzung heißt!

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Ohne Beschränkung der Allgemeinheit.

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Okay, das ist, was die Abkürzung heißt.

Jetzt zurück zur Frage: Wofür steht dieses "ohne Beschränkung der Allgemeinheit"?

Was sagt einem das in dem obigen Zusammenhang? Was bedeutet es, dass dieser Ausdruck hier angeführt wird?

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Hm...

Egal welche Elemente aus den reellen Zahlen ich mir anschaue, muss die Aussage unabhängig von den gewählten Variablen immer wahr sein?

Also Quasi: Zwischen zwei reellen Elementen existiert immer ein rationales Element?

Ich hoffe das klingt nicht zu hölzern.

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Ich habe den vorhergehenden Sarkasmus zu spät verstanden.

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Okay, zwischen zwei reellen Elementen r₁ < r₂ existiert immer ein rationales Element q. Dies beweist man ohne Beschränkung der Allgemeinheit, indem man zeigt, dass zwischen 0 und r > 0 immer ein q liegt.

Dies geht aber leider nicht aus der Verwendung von "o.B.d.A." in der obigen Aufgabenstellung hervor. In der obigen Aufgabenstellung wäre die eheste Interpretation von "o.B.d.A." wohl, dass über die genannten Bedingungen (x > 0, x ∈ ℝ) hinaus keine zusätzlichen Bedingungen für den Beweis gebraucht werden.

Die Aufgabe wäre allerdings auch ohne "o.B.d.A." so zu verstehen, daher die Frage, welche zusätzliche Information sich hinter dem "o.B.d.A." verbirgt. Wenn sich keine zusätzliche Information dahinter verbirgt, sollte man es eher weglassen, da es sonst wie ein Füllwort wirkt, das keine weitere Bedeutung hat.

Im Allgemeinen hat "o.B.d.A." aber eine spezielle Bedeutung. Außerdem interessant wäre es, wie du zeigst, dass die Allgemeinheit von r₁ < q < r₂ durch den Beweis von 0 < q < r tatsächlich nicht eingeschränkt wird, sprich: Wie lautet der Argumentationsschritt, den das "o.B.d.A." impliziert?

(Das "o.B.d.A." impliziert immer auch einen Argumentationsschritt.)

Answer 1

Eine Menge A liegt dicht in B, wenn der Abschluss von A = B ist.

Beweisen tut man das normalerweise durch Folgen: Jeder beliebige Wert in B ist Grenzwert einer Folge in A (!).

Hier konkret: Jede reelle Zahl lässt sich als Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen darstellen. Und das primitivste Beispiel hierfür ist eine Intervallschachtelung.

(Überlege mal, wie Du vor vielen Jahren die Irrationalität von sqrt(2) bewiesen hast.)