Quersumme einer dreistelligen Zahl mit 15 und Zusatzeigenschaften ermitteln

Question

Die Quersumme einer dreistelligen Zahl ist 15. Die Zahl wird um neun größer wenn man die einer und Zehnerziffern vertauscht und um 99 kleiner wenn man die einer und Hunderterziffern vertauscht. Wie viele solcher Zahlen gibt es?

Answer 1

Aloha :)

Die Zahl stellen wir dar als:$$z=100\cdot a+10\cdot b+c$$Die Informationen aus dem Text liefern:$$\begin{array}{r}1) & a & + & b & + & c &=& 15\\2) & 100a & + & 10c & + & b &=& z+9\\3) & 100c & + & 10b & + & a &=& z-99\end{array}$$Jetzt setzen wir rechts den Ausdruck für \(z\) ein::$$\begin{array}{r}1) & a & + & b & + & c &=& 15\\2) & 100a & + & 10c & + & b &=& 100 a&+&10b &+& c&+&9\\3) & 100c & + & 10b & + & a &=& 100a &+& 10b &+& c&-&99\end{array}$$und bringen alle Variablen auf die linke Seite:$$\begin{array}{r}1) & a & + & b & + & c &=& 15\\2) & 0& - & 9b & + & 9c &=&9\\3) & -99a & + & 0 & + & 99c &=& -99\end{array}$$Das ist ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für 3 Unbekannte. Das Lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 1 & 1 & 15\\0 & -9 & 9 & 9\\-99 & 0 & 99 & -99\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{:9}\\{:99}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 1 & 1 & 15\\0 & -1 & 1 & 1\\-1 & 0 & 1 & -1\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{\cdot(-1)}\\{+\text{Zeile }1}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 1 & 1 & 15\\0 & 1 & -1 & -1\\0 & 1 & 2 & 14\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{-\text{Zeile }2}\\{}\\{-\text{Zeile }2}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 0 & 2 & 16\\0 & 1 & -1 & -1\\0 & 0 & 3 & 15\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{}\\{:3}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 0 & 2 & 16\\0 & 1 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & 5\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{-2\cdot\text{Zeile }3}\\{+\text{Zeile }3}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 1 & 0 & 0 & 6\\0 & 1 & 0 & 4\\0 & 0 & 1 & 5\end{array}\right)$$Die gesuchte Zahl ist also \(\boxed{645}\).

Answer 2

a + b + c = 15
100a + 10c + b = 100a + 10b + c + 9
100c + 10b + a = 100a + 10b + c - 99

Ich finde beim Lösen nur die Zahl 645. Mache damit also mal die Probe.

Comments

Wie soll ich denn mit den Gleichungen auf 645 kommen?

Wie Stelle ich die Gleichungen um?

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Zunächst mal kannst du die zweite und dritte Gleichung noch sehr vereinfachen.

Dann hast du prinzipiell 3 Möglichkeiten.

1. Addidionsverfahren
2. Einsetzungsverfahren
3. Gleichsetzungsverfahren

Bei linearen Gleichungssystemen wird häufig das Additionsverfahren oder Gaußverfahren verwendet.

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Ich versuche es