Herleitung Binomialkoeffizienten?

Question

Hallo, ich soll die Herleitung des Binomialkoeffizienten zusammenfassen und komme leider bereits zu Anfang nicht weiter, da mir eine Zeile nicht klar ist...

Dort steht: "Allgemein gibt es n•(n-1)•... •(n-r+1) Möglichkeiten r Einsen in n Fächern zu platzieren."

Kann mir jemand den oberen Ausdruck erklären?

Answer 1

Wenn du r Einsen in n Fächern verteilen sollst (höchstens eine pro Fach)

dann hast du für die erste 1 die Wahl von n Fächern frei.

Für die 2. nur noch n-1 und für die 3. dann n-2 etc.

Und für die letzte bleiben eben dann n-r+1 Wahlmöglichkeiten.

Allerdings kommen dabei manche Verteilungen mehrfach vor, denn

wenn du z.B. die erste 1 in das 1. Fach und die

2. in das zweite Fach tust, sieht das danach genauso aus

wie die erste 1 ins 2. Fach und die 2. ins erste.

Answer 2

"Allgemein gibt es n•(n-1)•... •(n-r+1) Möglichkeiten r Einsen in n Fächern zu platzieren." Dieser Satz ist falsch. Sei n=5 und r=3. Dann ist n-r+1=3 und n•(n-1)•... •(n-r+1)=5·4·3=60. Tatsächlich gibt es aber nur diese 10 Fälle:

Answer 3

Mit Zahlen ist es vielleicht einfacher zu verstehen. r=3, n=7.

Du hast 3 Karten und 7 Fächer. In jedes Fach kommt höchstens eine Karte.

Für die 1. Karte hast du 7 Möglichkeiten, für die 2. 6 und für die 3. 5, insgesamt also 7*6*5 Möglichkeiten. Dabei ist 5=7-3+1, also n-r+1.

Danach geht es weiter, weil die Karten nicht unterschieden werden. Da die 3 Karten auf 3*2*1 Arten angeordnet werden können, muss durch 3! bzw. r! dividiert werden.