Volumen fassförmige Tonne

Question

mein kleiner Bruder macht bald Matura (Abi) und hat beim Lernen mit folgendem Beispiel Probleme: (Ich hab versucht mich an irgendwas zu erinnern, aber meine Schulzeit ist zu lange her^^)

Beton wird in einer rotierenden, fassförmigen Tonne transportiert. Der Querschnitt wird durch Parabeln der Form y=ax^2 + bx + c begrenzt. Die Tonne des lieferenden LKWs ist bis zur momentanen Füllhöhe mit Beton gefüllt. Berechne das Volumen des angelieferten Betons, der mit diesem LKW angeliefert wird.

Dem Bsp. ist eine Skizze beigefügt, die Höhe der Tonne wird mit 6m angegeben, der Boden mit 2m und die "andere Seite," (=Deckel) mit 4m (was mich überhaupt sehr verwirrt) Man darf ja leider keine Fotos posten, ich hoffe, es kann mir/uns trotzdem irgendjemand helfen...

Comments

Für eine Volumenberechnung käme es sehr darauf an, ob die rotierende Tonne auf dem LKW "steht" oder "liegt". Allerdings kann ich mir den ersten Fall kaum vorstellen, weil dann Fahrten durch Tunnel oder unter Brücken hindurch wegen der Gesamthöhe von deutlich über 6m kaum möglich wären.
Für die Berechnung der komplett gefüllten Tonne wäre ein relativ simples Integral (für das Volumen eines Rotationskörpers) oder sogar so etwas wie die auf Kepler zurückgehende "Fass-Formel"
(https://mathepedia.de/Keplersche_Fassregel.html) ausreichend.
Wird die Tonne aber nur teilweise gefüllt (bei horizontal liegender Rotationsachse des Tanks), dann wird es rechnerisch schon relativ anspruchsvoll, und ich frage mich dann, ob dies noch Abi-Stoff sein soll. Bei den "echten" Beton-LKWs

Wikimedia: 320px-Gruszka1_poznan.jpg

liegt übrigens die Trommel schräg. Für eine diesbezügliche Integrationsrechnung viel Vergnügen.

Answer 1

Skizze

Zunächst sollte hier der obere Parabelbogen modelliert werden

Setze dazu den Scheitelpunkt S(0 | 2) und einen weiteren Punkt bei P(3 | 1) fest. Dann lautet die Parabel.

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = (1 - 2) / (3 - 0)^2 = -1/9
f(x) = 2 - 1/9·x^2

Als nächstes berechnet man das Rotationsintegral

a(x) = pi·f(x)^2 = pi·(2 - 1/9·x^2)^2 = pi/81·(x^4 - 36·x^2 + 324)
A(x) = pi/81·(1/5·x^5 - 12·x^3 + 324·x) = pi/405·(x^5 - 60·x^3 + 1620·x)

V = ∫ (-3 bis 3) a(x) dx = A(3) - A(-3) = 43/5·pi - (-43/5·pi) = 86/5·pi = 54.04

Da die Tonne nur bis zur Hälfte gefüllt ist beträgt das Volumen 27.02 m³.

Comments

Danke dass dus hier nochmal reingestellt hast, eine kurze Frage wäre da noch und zwar, warum müssen wir den zweiten Punkt genau mit den Koordinaten (3/1) wählen?

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Dein Fass hatte eine genaue Höhe von 6 m. einen Radius in der Mitte von 2 m und am Anfang und Ende einen Radius von 1 m. Schau in meine Skizze dann erkennst du den Scheitelpunkt bei S(0 | 2) und den weiteren Punkt bei P(3 | 1)

Natürlich hätte man auch den Punkt P(-3 | 1) wählen können. Das rechnen mit positiven Zahlen ist für Schüler allerdings meist einfacher.

Du hattest bei deinem Fass kein Koordinatensystem gegeben. Daher wäre zunächst ein geeignetes selbst zu wählen. Sehr einfach ist es wenn der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt. Daher habe ich das in meinem Koordinatensystem auch so gewählt.

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! Jetzt ist es logisch

Answer 2

Sieht der Querschnitt der Tonne vielleicht so aus?

Dann müsste man noch den Durchmesser an der dicksten Stelle kennen. Außerdem bleibt der Begriff der "momentanen Füllhöhe" ungeklärt.

Comments

So in etwa sieht die Skizze aus, vielen Dank!

Was mit "momentaner Füllhöhe" gemeint ist, weiß ich leider auch nicht, ich selbst habe mich seit 15 Jahren nicht mehr mit höherer Mathematik beschäftigt und einfach nur das Bsp so wie es auf dem Blatt stand, abgetippt....

Vielleicht kann es ja doch jemand hier berechnen.

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Man kann zum Beispiel das Rotationsvolumen des Randes der Tonne um die x-Achse in den Grenzen von 0 bis 6 bestimmen. Dazu muss man erstmal die Funktion des Randes bestimmen. Zwei Punkte auf dem Rand sind (0|1) und (6|2). Man braucht aber 3 Punkte um eine Funktion vom Typ f(x)=ax²+bx+c zu präzisieren. Ich habe da einfach einen Punkt erfunden und f(x)=-1/18x²+1/6x+1 erhalten.

Das Rotationsvolumen R ist dann:

R=π·\( \int\limits_{0}^{6} \) [f(x)]² dx.  

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Man kann einfach einen Punkt erfinden? K then^^

Danke auf jeden Fall, ich gebe das so an meinen Bruder weiter!

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Nein, man darf nicht einfach einen Punkt erfinden. Aber ich hatte nach dem größten Durchmesser gefragt, der eigentlich gegeben sein sollte (aber wohl nicht ist). Wenn nichts weiter gegeben ist, muss man einen Parameter in der Randfunktion stehen lassen: f(x)=ax²+(1/6-6a)x+1 und damit weiterrechnen.

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Sorry @Roland mein Bruder versteht nicht, wo du die -1/18 und die 1/6 herhast.... wenn du das vll nochmal kurz für dummies erklären könntest, wären wir dir sehr dankbar ^^

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Ok jetzt haben wir gleichzeitig geschrieben....^^

Aber wo ist der Parameter denn her bzw. woher nimmst du die Zahlen in der Funktionsgleichung genau?

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In f(x)=ax²+bx+c werden die (durch den halben Durchmesser) bekannten Punkte (0|1) und (6|2) eingesetzt. Dann entstehen die Gleichungen:

(1) 1=0a+0b+c

(2) 2=36a+6b+c

Das sind aber zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten. Weil man für 3 Unbekannte 3 Gleichungen braucht, habe ich mir etwas ausgedacht, was aber nicht erlaubt war. Daher ist meine Lösung a=-1/18; b=1/6 genau genommen reine Phantasie meineseits und spielt hier keine Rolle.

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Bis zu den 2 Gleichungen mit 3 unbekannten folgen wir dir noch, weil das nur einsetzen ist. Der Part mit den Fantasiezahlen allerdings ^^ naja, trotzdem danke. :)

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Nachträglich tut es mir leid, meine Phanasien in meine Antwort eingefügt zu haben. Das war überflüssig und trägt zu keiner Lösung bei. Umgekehrt habe ich aus dem von dir Geschriebenen entnomme, dass keine weiteren Angaben im Aufgabentext stehen. Dann kann man nur allgemein mit f(x)=ax²+(1/6-6a)x+1 weiterrechnen.

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Das ist voll ok, danke für die Mühe! Ich und mein Bruder haben beide nochmal die Angabe gecheckt, es steht dort wirklich nicht mehr, ich habe alles genauso abgetippt.

Aber vll könntest du als Moderator dich kurz darum kümmern, dass ein Kommentar eines anderen Users @rumar hier nicht erschienen ist ev würde uns nämlich das helfen.

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Bisher hat kein Moderator meine Frage beantwortet, aus welchen unbegreiflichen Gründen mein Kommentar geblockt wurde. Mir ist es absolut unverständlich.

Dem Corona-Virus kann man dies aber wohl kaum in die Schuhe schieben, oder?

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@rumar: Hier ist niemand verpflichtet, irgend jemandem eine Frage zu beantworten, dan niemand angestellt ist für so was. Wende dich an deine Lehrperson, wenn die Erklärungen aus dem (Heim-)Unterricht nicht genügen.

Sorry. Erst jetzt deinen Kommentar oben gesehen. Melde so was am besten hier https://www.mathelounge.de/feedback Moderatoren haben keinen Einfluss / Einblick in "geblockte" Wörter und FAQ kann man auch nicht ständig verfolgen.