Aloha :)
Wir schreiben die Vektoren als Spalten in eine Matrix und bringen diese durch Spaltenumformungen auf Dreieckform. Alle Spalten, die dann nicht nur 0en enthalten, sind linear unabhängig und spannen den Raum auf, sie bilden also eine Basis des Raums:$$\left(\begin{array}{r}&-2S_1 & -3S_1\\\hline1 & 2 & 3\\-2 & 3 & 8\\1 & 0 & -1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}& & -2S_2\\\hline1 & 0 & 0\\-2 & 7 & 14\\1 & -2 & -4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}\vec b_1& \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\-2 & 7 & 0\\1 & -2 & 0\end{array}\right)$$Wir erhalten 2 linear unabhängige Spalten \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\), die eine Basis von \(U\) bilden. Da die Basis aus 2 Vektoren besteht, hat der Raum \(U\) die Dimension 2.
Um die Basis zu einer Basis des \(\mathbb{R^3}\) zu vervollständigen, fehlt eine Möglichkeit, die \(z\)-Koordinate frei von der \(y\)-Koordinate zu beeinflussen. Daher bietet es sich an, die Basis um \(\vec c=(0|0|1)^T\) zu erweitern. Wir prüfen das sicherheitshalber nach, indem wir auch die so neu entstandene Matrix auf Dreieckform bringen:
$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec c \\\hline1 & 0 & 0\\-2 & 7 & 0\\1 & -2 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}-S_3 & +2S_3 & \\\hline1 & 0 & 0\\-2 & 7 & 0\\1 & -2 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} & :7 & \\\hline1 & 0 & 0\\-2 & 7 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} +2S_2 & & \\\hline1 & 0 & 0\\-2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Ergänzung von \(\vec c\) vervollständigt die Basis von \(U\) also zu einer Basis der \(\mathbb{R^3}\).
