Grenzwert berechnen (lim)

Question

Ich darf bei der Berechnung des Grenzwerte die Regel von L'Hospital nicht verwenden. Kann mir einer helfen, den Grenzwert von diesen beiden Aufgaben zu berechnen.

 1.

\( \lim \limits_{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{1+2 x}-3}{\sqrt{x}-2} \)

2.

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (5 x)}{2 x} \)

Answer 1

Aufgabe 1 vielleicht mit dem binomischen Satz:$$\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt x-2}=\lim_{x\to0}\frac{3\sqrt{1+\frac29x}-3}{2\sqrt{1+\frac14x}-2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac13x-\frac1{54}x^2+\cdots}{\frac14x-\frac1{64}x^2+\cdots}=\frac43.$$
Aufgabe 2 vielleicht so:$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{2x}=\lim_{x\to0}\frac52\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}=\frac52\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}x=\frac52\cdot1=\frac52,$$falls letzterer Grenzwert bereits bekannt ist.