Aloha :)
Das Flugzeug bewegt sich entlang der Geraden:
$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}4\\0\\6\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\3\\-1,5\end{pmatrix}$$Die \(z\)-Koordinate verschwindet für \(s=4\) am Punkt \(P(8|12|0)\).
Im nächsten Teil ist der Abstand der Geraden \(g\) vom Mittelpunkt \(M(6|6|2,9)\) des Ballons gesucht.
$$\vec d=\begin{pmatrix}2\\6\\-3,1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\-1,5\end{pmatrix}\cdot\frac{\begin{pmatrix}1\\3\\-1,5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\6\\-3,1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\-1,5\end{pmatrix}^2}$$$$\phantom{\vec d}=\begin{pmatrix}2\\6\\-3,1\end{pmatrix}-\frac{24,65}{12,25}\begin{pmatrix}1\\3\\-1,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0,012245\\-0,036735\\-0,081633\end{pmatrix}$$Der Abstand des Flugzeugs vom Mittelpunkt des Ballons ist daher:$$d=\|\vec d\|=0,090351\,\mathrm{km}=90,35\,m$$Der Sicherheitsabstand beträgt also \(80,35\,m\) von der Hülle des Ballons.
Der Abstand, wenn das Flugzeug genau unter dem Ballon steht, ist größer. Die \((x,y)\)-Position des Ballons bei Überflug ist \((6,6)\). Diese Werte erreicht das Flugzeug für \(s=2\). Die Höhe des Flugzeugs ist dann \(6-2\cdot(-1,5)=3\,\mathrm{km}\). Das sind zur \(z\)-Position des Ballons mit \(2,9\,\mathrm{km}\) Höhe noch ca. \(100\,\mathrm m\) Unterschied. Der Abstand zum Ballon ist daher \(90\,\mathrm m\).
Die Frage ist also falsch gestellt. Um den Sicherheitsabstand als minimal vorgeschriebenen Abstand bewerten zu können, darf nicht nur der Höhenunterschied betrachtet werden, wenn beide Flugobjekte exakt übereinander stehen.
