Implikation und Kontraposition: Aus A ⇒ B folgt ¬A ⇒ ¬B und/oder ¬B ⇒ ¬A

Question

Beim Wiki-Artikel https://www.matheretter.de/wiki/implikation steht:

A ⇒ B ist gleichwertig zu ¬A ⇒ ¬B und wird Kontraposition genannt. Diese ist nicht mit der Umkehrung B ⇒ A zu verwechseln.

Ich habe dazu folgenden Hinweis bekommen:

Gemeint ist meines Erachtens jedoch:
"A ⇒ B ist gleichwertig zu ¬B ⇒ ¬A und wird Kontraposition genannt."

Welche der Aussagen sind korrekt? Beide?

Answer 1

Aloha :)

Die erste Aussage ist falsch:

"schwanger" \(\;\;\quad\quad\Rightarrow\quad\) "Frau"

"nicht schwanger" \(\quad\not\Rightarrow\quad\) "nicht Frau" (es gibt auch Frauen, die nicht schwanger sind).

Die zweite Aussage ist korrekt.

\(A\Rightarrow B\) bedeutet, dass \(B\) eine notwendige Voraussetzung für \(A\) ist. Wenn also \(B\) nicht gilt, kann \(A\) nicht gelten. Am Beispiel von oben, ist eine notwendige Voraussetzung für die Eigenschaft "schwanger" die Eigenschaft "Frau". Die Aussage \((\neg B\Rightarrow\neg A)\) ist vollkommen gleichwertig zur Aussage \((A\Rightarrow B)\).

Answer 2

Letztere ist korrekt. Das kann man mit einer Wahrheitstabelle zeigen.

Comments

Meinst du damit, die Wahrheitstabelle „rückwärts“ zu lesen?

Könntest du ggf. diese Tabelle kurz aufstellen?

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A	B	A⇒B	¬B	¬A	¬B⇒¬A
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	1