Eine Linearkombination aus einem gegebenen Vektor erstellen und Überprüfung einer linearen Unabhängigkeit

Question

 Hallo,

Ich habe hier 2 Aufgaben, mit denen ich gar nicht klar komme und hoffe, dass mir jemand helfen kann.

1) Der Vektor v  = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) soll als Linearkombination v = λ1b1+λ2b2+λ2b3 der folgenden Vektoren 

b1= \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)   b2 = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)   b3 = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

dargestellt werden.

Die Musterlösung lautet: v = 3·b1-1·b2+3·b3

Ich würde den Vektor v für das λ einsetzen und dann jeweils mit den Vektoren b1, b2 und b3 multiplizieren. Aber das haut nicht in :/

2) Hier soll bei den folgenden Vektoren die Lineare Unabhängigkeit geprüft werden.

b1 = \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\-3 \end{pmatrix} \)   b2 = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\2 \end{pmatrix} \)    b3 = \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

Wie prüfe ich das bzw. woran genau erkenne ich eine lineare Unabhängigkeit? :/

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$Hier könntest du nun die Bauern-Methode anwenden und das Gleichungssystem lösen. Es fällt aber sofort auf, dass \(\lambda_1=3\) sein muss, damit \(x_3=3\) werden kann. Dann wäre aber \(x_2=3\), muss also um \(1\) verkleinert werden. Das geht nur mit \(\lambda_2=-1\). Dadurch ist \(x_1=-1\), sodass \(\lambda_3=2\) sein muss, damit \(x_1=1\) ist:$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Im nächsten Aufgabenteil sollen 3 Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft werden. Dazu schreibe diese in eine Matrix und bringe die Matrix durch Spaltenumformungen auf Dreieckform. Entstehen dabei Nullspalten, sind die Vektoren linear abhängig:

$$\left(\begin{array}{r} & +S_1 & +S_1\\\hline1 & -1 & -1\\-2 & 1 & -1\\-3 & 2 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} & & -3S_2\\\hline1 & 0 & 0\\-2 & -1 & -3\\-3 & -1 & -3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} & & \\\hline1 & 0 & 0\\-2 & -1 & 0\\-3 & -1 & 0\end{array}\right)$$Die Vektoren sind linear abhängig.

Comments

ohhh super, vielen vielen lieben Dank für die ausführlichen Erklärungen!

Das hilft mir total weiter!

Mache ich die Spaltenumformung genauso wie das Lösen von Gleichungssystemen (nur das ich hier halt nicht die Zeilen vertausche, sondern die Spalten)?

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Ja, du kannst Spalten multiplizieren, du kannst das Vielfache einer Spalte zu einer anderen addieren oder subtrahieren...

Wenn du dir mit Spaltenumformungen unsicher bist, kannst du die Vektoren genauso gut als Zeilen in eine Matrix schreiben und die Matrix dann durch Zeilenumformungen auf Dreieckform bringen. Wenn Nullzeilen übrig bleiben, sind die Vektoren linear abhängig. Es ist ja dann gelungen, einen Vektor durch die Kombination aller anderen auszudrücken.

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Ich schaue mal, wie ich das am Besten hinbekomme (ob Zeile oder Spalte). Üben muss ich beides noch ein wenig.

Aber das hilft mir sehr weiter!

Vielen lieben Dank und einen schönen Abend noch :)

Answer 2

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) = a· \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) + b· \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) + c· \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Dazu die Komponentengleichungen:

b+c=1

a+b=2

a=3

Dann ist b=-1 und c=2.

Comments

Heißt das, dass ich das einfach in einem linearen Gleichungssystem lösen kann / muss?

In der Form kann ich es ja einfach in ein Gleichungssystem übertragen.

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Ja, das heißt, dass du das einfach in einem linearen Gleichungssystem lösen kannst.