globales Optimum an der Stelle x*

Question

Text erkannt:

$$ f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}+33\right)^{2}+\left(7 x_{2}-\frac{510}{7}\right)^{2}-5 x_{1} x_{2} $$
besitzt ein globales Optimum an der Stelle \( \mathbf{x}^{*} \). Finden Sie dieses Optimum. An welcher Stelle \( x_{2} \) befindet sich dieses Optimum?

 kann mit bitte jemand helfen? danke !

Answer 1

Aloha :)$$f(x_1;x_2)=(x_1+33)^2+\left(7x_2-\frac{510}{7}\right)^{2}-5 x_1x_2$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_1f=2(x_1+33)-5x_2=2x_1-5x_2+66$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_2f=2\left(7x_2-\frac{510}{7}\right)\cdot7-5x_1=-5x_1+98x_2-1020$$Wir finden ein Gleichungssystem zum Lösen:

$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = &\\\hline2 & -5 & -66 &| :2\\-5 & 98 & 1020\\\hline1 & -2,5 & -33 &\\-5 & 98 & 1020 & | +5\cdot\text{Zeile } 1\\\hline1 & -2,5 & -33 &\\0 & 85,5 & 855 & |:85,5\\\hline1 & -2,5 & -33 &|+2,5\cdot\text{Zeile }2\\0 & 1 & 10 &\\\hline1 & 0 & -8 &\\0 & 1 & 10 &\end{array}$$Das Extremum befindet sich also an der Stelle \((-8;10)\).

Answer 2

Abgesehen von Rändern des Definitionsbereichs, etc. sind andere mögliche Kandidaten Stellen, an denen \(\text{grad}\,f = 0\) gilt. Zum Ermitteln dieser löse das LGS

\(\color{white}{I}\textbf{I}: f_{x_1} = 0 \\ \textbf{II}: f_{x_2} =0.\)