Question

Prüfen Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhangig sind. Bestimmen Sie in jedem Fall die Dimension des aufgespannten Raumes und geben Sie eine Basis an.

(5,0,5,-4) , (0,5,-5,-3) , (5,-5,10,1) , (4,-3,-1,5) in R^{4}

Answer 1

Wenn ich die 4 Vektoren als Spalten in eine Matrix schreibe,

bekomme ich für die Determinante 400. Das ist ungleich 0,

also sind die 4 linear unabhängig und bilden eine Basis des R^4,

Comments

können sie mir bitte zeigen wie sie es gelöst haben

Answer 2

Du kannst auch das Gaussverfahren anwenden

[5, 0, 5, -4]
[0, 5, -5, -3] II
[5, -5, 10, 1] III - I
[4, -3, -1, 5] 5*IV - 4*I

[0, 5, -5, -3]
[0, -5, 5, 5] II + I
[0, -15, -25, 41] III + 3*I

[0, 0, 0, 2]
[0, 0, -40, 32]

Jetzt kann ich die obere Dreiecksmatrix binden und sehe das alle vektoren linear unabhängig sind. Damit wird auch der R^4 aufgespannt.

[5, 0, 5, -4]
[0, 5, -5, -3]
[0, 0, -40, 32]
[0, 0, 0, 2]

Comments

sorry sie haben die Zahle n falsch  abschreiben statt 1 in III ist -1 und statt in IV ist -4

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Ich sehe momentan keinen Fehler. Vielleicht habe ich dich aber auch nur falsch Verstanden.