Wie sieht die Abbildungsvorschrift dieser Matrizen aus?

Question

Gegeben:

$$ P = \begin{bmatrix}2 & -1 & 3\\ 1 & -2 & 2\end{bmatrix} \qquad \qquad Q = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 1 & 2\\ -2 & 2\end{bmatrix}$$

Gefragt ist nach der Abbildungsvorschrift für die Komposition \(Q \circ P\).

Ist damit einfach die Multiplikation der beiden Matrizen gemeint? Ich habe nur Matrizen gegeben und keine linearen Abbildungen. Das verwirrt mich. Wie schreibt man hier eine Abbildungsvorschrift?

EDIT:

Also ich denke hier ist nach den Dimesionen gefragt:

$$M: \mathbb{R}^{4x2} \circ \mathbb{R}^{2x3} \mapsto \mathbb{R}^{4x3}$$

Ist das die richtige Antwort?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst eine lineare Abbildung immer auch in Form einer Abbildungsmatrix darstellen:

$$(q\circ p): \mathbb R^{3}\to\mathbb R^4\quad\Rightarrow\quad M_{q\circ p}\in\mathbb R^{4\times3}$$$$M_{q\circ p}=M_q\cdot M_p=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & -1\\1 & 2\\-2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\1 & -2 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -3 & 5\\3 & 0 & 4\\4 & -5 & 7\\-2 & -2 & -2\end{pmatrix}$$

Comments

Aloha! Cool. Danke für die schnelle Antwort! Aber beschreibt es eine Abbildung vom \(\mathbb{R}^3\) in den \(\mathbb{R}^4\) Ich dachte anders herum?

---

Ja, es geht tatsächlich vom \(\mathbb R^3\) in den \(\mathbb R^4\). Die Anzahl der Spalten gibt die Anzahl der Komponenten der Vektoren vor, die mit der Matrix multipliziert werden können. Und die Zeilen geben vor, wie viele Komponenten die Matrix liefert:$$\left(\begin{array}{r} & x & y & z\\\hline f_1 &3 & -3 & 5\\f_2 & 3 & 0 & 4\\f_3 & 4 & -5 & 7\\f_4 &-2 & -2 & -2\end{array}\right)$$

---

Jetzt verstehe ich es.