Zykloide und Differentialgleichungen

Question

Die Parameterdarstellung der Zykloide
$$ \begin{array}{l} x(\varphi)=r(\varphi-\sin (\varphi)) \\ z(\varphi)=r(1-\cos (\varphi))                      (*) \end{array} $$
mit \( \varphi, r \in \mathbb{R}, \) kann aufgefasst werden als
$$ \vec{x}(\varphi)=g(\varphi) \vec{x}_{0} $$
wobei
$$ g(\varphi) \vec{x}_{0}:=\vec{a}(\varphi)+R(-\varphi)\left(\begin{array}{r} 0 \\ -r \end{array}\right) $$
d.h., dass \( g(\varphi) \) eine Kurve in der Lie-Gruppe \( E_{2} \) der planaren Kongruenztransfor mationen ist, zusammengesetzt aus Translation,
$$ \vec{a}(\varphi)=\left(\begin{array}{c} r \varphi \\ r \end{array}\right) $$
und Rotation
$$ R(-\varphi)=\left(\begin{array}{cc} \cos (\varphi) & \sin (\varphi) \\ -\sin (\varphi) & \cos (\varphi) \end{array}\right) $$



Aufgabe:
Zeigen Sie, durch Ableiten von \( z: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \) mit
$$ z(\varphi)=r(1-\cos (\varphi)) $$
\( \operatorname{nach} x, \operatorname{dass}\left(^{\star}\right) \) eine Funktion \( z(x) \) definiert, die die Differentialgleichung
$$ z(x)\left(z^{\prime 2}(x)+1\right)=2 r $$
erfüllt.



Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, wie ich an die Aufgabe rangehen kann.

Answer 1

Hallo,

das funktioniert über den folgenden speziellen Trick. Man berechnet

\( z_x = \frac{z_\varphi}{x_\varphi} = \frac{\sin(\varphi)}{1 - \cos(\varphi)} \).

Damit ist

\( z_x^2 + 1 = \frac{\sin^2(\varphi) + (1 - \cos(\varphi))^2}{(1 - \cos(\varphi))^2} = 2 \frac{1 - \cos(\varphi)}{(1 - \cos(\varphi))^2} = 2 \frac{r}{z}\).

Schließlich ist

\( z (z_x^2 + 1) = 2r \).

Ausgeschrieben lautet der oben genannte Trick \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\frac{\partial z}{\partial \varphi}}{\frac{\partial x}{\partial \varphi}} \).

Grüße

Mister

Comments

Zeigen Sie, dass \( x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \varphi \mapsto r(\varphi-\sin (\varphi)) \) für festes \( r \) eine bijektive Abbildung definiert, womit \( \varphi(x) \) die Differentialgleichung
$$ 1=\varphi^{\prime}(x) r(1-\cos (\varphi)) $$
erfüllt.

Gibt es bei dieser Aufgabe auch so einen „Trick“?

---

Ah, du meinst diese Frage von dir: https://www.mathelounge.de/730050/differentialgleichung-bijektiver-abbildung.

Answer 2

Nach der Kettenregel gilt $$ \frac{dz}{dx} = \frac{ \frac{dz}{d\varphi} }{ \frac{dx}{d\varphi} } = \cot\left( \frac{\varphi}{2} \right) $$ und wegen $$ \cot\left( \frac{\varphi}{2} \right) = \sqrt{ \frac{ 1+ \cos(\varphi) }{ 1 - \cos\varphi)  } } $$ folgt

$$ z (z'^2 +1) = 2r  $$