Nullstelen des Polynoms mit Horner-Schema oder Polynomdivision

Question

Aufgabe: (Linearfaktorzerlegung) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms und
zerlegen Sie das Polynom anschließend in seine Linearfaktoren. Raten Sie dazu zunächst eine
Nullstelle und verwenden Sie dann das Horner-Schema oder die Polynomdivision.
$$ p(x)=-2 x^{3}+4 x^{2}+10 x-12 $$
Aufgabe 9 (Linearfaktorzerlegung) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms und
zerlegen Sie das Polynom anschließend in seine Linearfaktoren
$$ p(x)=x^{4}-x^{3}-16 x^{2}-20 x $$

Answer 1

$$p(x)=-2 x^{3}+4 x^{2}+10 x-12$$

Am einfachsten ist es, die Koeffizienten (die Zahlen vor den x) zu addieren:

-2+4+10-12=0

Also muss x=1 eine Nullstelle sein.

Horner-Schema (Weißt du, wie es funktioniert?)

        -2   4   10   -12
         /  -2    2    12
------------------------------
x=1  |  -2   2   12     0

  Also müssen noch die Nullstellen von \(-2x^2+2x+12\) bestimmt werden.

Durch 2 dividieren, dann Lösungsformel → x=3 oder x=-2

$$p(x)=-2 (x-3) (x-1) (x+2)$$

Aufgabe9

$$ p(x)=x^{4}-x^{3}-16 x^{2}-20 x $$

Eine Nullstelle ist x=0, da x ausgeklammert werden kann.

$$ p(x)=x\cdot(x^{3}-x^{2}-16 x-20) $$

Die nächste Nullstelle muss geraten werden. Falls es ganzzahlige Nullstellen gibt, müssen sie Teiler von 20 sein.

Also probiert man für x aus: +1; -1; +2; -2

Und x=-2 ist die zweite Nullstelle. Jetzt wieder Horner, dann Lösungsformel.

[spoiler]

$$p(x)=x\left(x+2\right)^{2}\left(x-5\right)$$

[/spoiler]

Comments

Der Horner für Aufgabe 9 wäre dann,  1.  -1.  -16.  -20.  ? Richtig

---

Genau. Und nun für x=-2 aufschreiben.

---

	1	-1	-16	-20
	/	-2	6	20
X=-2	1	-3	-10	0

Wäre das richtig so?

---

()=(+2)2(−5) Aber diese Lösung verstehe ich nicht ganz 

---

Dein Schema ist richtig. Jetzt noch \(x^2-3x-10=0\) lösen.

Das ergibt \(x_3=-2\) und \(x_4=5\).

Die Linearfaktoren bekommst du nun, indem du die Nullstellen in \((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\) einsetzt.

---

Alles klar, vielen dank!

Answer 2

Eine Nullstelle ist x₁=1 (geraten).

Polynomdivision:    (- 2·x³  + 4·x²  + 10·x - 12):(x-1)= - 2·(x²  - x - 6).

x²  - x - 6 =0 hat die Lösungen x₂=3 und x₃=-2

Faktorenzerlegung: 2·(1 - x)·(x + 2)·(x - 3).

Answer 3

Aloha :)

Alle ganzzahligen Nullstellen müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein.$$p(x)=-2x^3+4x^2+10x-12=-2(x^3-2x^2-5x+6)$$Die Zahl ohne \(x\) ist die \(6\). Ihre Teiler sind \(\pm1,\pm2\pm3\,\pm6\). Wir probieren diese Zahlen aus und finden Nullstellen bei \(1;-2;3\). Damit sind wir hier schon fertig:$$p(x)=-2(x-1)(x+2)(x-3)$$

Beim nächsten Polynom kann man \(x\) ausklammern:$$p(x)=x(x^3-x^2-16x-20)$$Die Zahl ohne \(x\) ist \(-20\). Ihre Teiler sind \(\pm1,\pm2\,\pm4\pm5\,\pm10\,\pm20\). Wir werden fündig bei \(-2;5\). Also gibt es eine Zerlegung:$$p(x)=x(x+2)(x-5)(x+a)$$Wir könnten jetzt eine Polynomdivision machen, aber einfacher ist es, einen Funktionswert einzusetzen:

$$p(1)=1\cdot(1^3-1^2-16-20)=-36$$$$p(1)=1\cdot3\cdot(-4)\cdot(1+a))=-12(1+a)=-12-12a$$$$\Rightarrow\quad-12-12a=-36\quad\Rightarrow\quad a=2$$Damit ist:$$p(x)=x(x+2)^2(x-5)$$

Answer 4

Sind die Nullstellen ganzzahlig,so kann man durch probieren eine Nullstelle ermitteln

hier x=1  f(1)=-2*1³+4*1²+10*1-12=-2+4+10-12=14-14=0

linearfaktor (x-x1)=(x-1)

(-2*x³+4*x²+10*x-12) : (x-1)=-2*x²+2*x+12

-(-2*x³+2*x²)

             2*x²+10*x

          -(2*x²-2*x)

                        12*x-12

                      -(12*x-12)

                            0+0

weitere Nullstellen  0=-2*x²+2*x+12 dividiert durch -2

0=x²-1*x-6  Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

p=-1 und q=-6

x2,3=-(-1/2)+/-Wurzel((-1/2)²-(-6))=1/2+/-Wurzel(1/4+24/4)=1/2+/-5/4

x2=1/2+5/2=6/2=3 und x3=1/2-5/2=-4/2=-2

~plot~-2*x^3+4*x^2+10*x-12;[[-10|10|-20|10]];x=1;x=-2;x=3~plot~