Das Produkt aus der um 4 vergrößerten Zahl und der Hälfte der Zahl soll möglichst klein sein

Question

Aufgabe (Optimierungsaufgabe):

Wie heißt die Zahl, für die Folgendes gilt:

Das Produkt aus der um 4 vergrößerten Zahl und der Hälfte der Zahl soll möglichst klein sein.

Wie rechnet man das?

Answer 1

Wie heißt die Zahl, für die Folgendes gilt:

Das Produkt aus der um 4 vergrößerten Zahl und der Hälfte der Zahl soll möglichst klein
sein.

y = (x + 4) * (x/2) = 0.5·x^2 + 2·x

Kennt ihr bereits Ableitungen? Dann die Ableitung gleich Null setzen.

y' = x + 2 = 0 → x = -2

Comments

Leider sind mir Ableitungen nicht bekannt.

Wäre es möglich diese zu Erläutern?

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Mit Ableitungen kann man die Steigung der Funktion an verschiedenen Stellen ermitteln.

Weil in Hoch und Tiefpunkten die Steigung gleich Null ist kann man also recht einfach die Ableitung gleich null setzen um auf die Extremstellen zu kommen.

Da du eine quadratische Funktion hast kannst du aber auch einfach nur die x-Koordinate vom Scheitelpunkt bestimmen. Das wäre ja auch die x-Koordinate vom Tiefpunkt bei der nach oben geöffneten Parabel.

Answer 2

Sei "\(x\)" die Zahl.

\((x+4)\frac{x}{2}\) soll möglichst klein sein. Definiere \(f(x)=(x+4)\frac{x}{2}\). Wir haben die Nullstellen \(x_1=-4\) oder \(x_2=0\). Bei einer quadratischen Funktion liegt das Extremum immer im arithmetischen Mittel eben dieser Nullstellen. Folglich ist \(x_{\text{min}}=-2\).

Comments

Danke für die Antwort, ich bin bloß noch nicht sicher was mit dem Satz gemeint ist:

Bei einer quadratischen Funktion liegt das Extremum immer im arithmetischen Mittel eben dieser Nullstellen.

Wäre da evtl eine weniger mit Fachworten besetzte Formulierung möglich?

Oder eine "Umformulierung"

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Hallo,

ja, sagen wir du hast zwei Nullstellen, einmal 3 und einmal 6, dann liegt der Scheitelpunkt (das ist bei quadratischen Funktionen das Minimum oder Maximum) genau zwischen den beiden Nullstellen. Also (3+6)/2=9/2=4.5. Das ist bei jeder Quadratischen Funktion so, daher auch bei \(f(x)=(x+4)\frac{x}{2}\) mit  (-4+0)/2=-2.

https://www.desmos.com/calculator/aq7b1bxsrk

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Bei einer quadratischen Funktion liegt die Stelle vom Scheitelpunkt immer exakt zwischen den Nullstellen.

Welcher wert befindet sich also exakt zwischen -4 und 0? Diesen Wert nennt man auch den Mittelwert oder arithmetisches Mittel. Berechnet wird er wie der Mittelwert von zwei Zensuren. Die beiden Zensuren zusammenzählen und durch 2 teilen.

xmin = ((-4) + 0)/2 = -2

Answer 3

Mit einer Wertetabelle von -5 bis +2 kannst du es vielleicht gut erkennen:

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2
x(x+4)	5	0	-3	-4	-3	0	5	12

Du siehst, dass für x=-2 das Produkt am kleinsten ist.