Anwendung der Differentialrechnung 11

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch P(0; 1) und hat in W(1;-1) einen Wendepunkt; der Anstieg der Wendetangente ist m = 2.

Comments

Das ist doch schön zu hören.

Answer 1

Aloha :)

Wegen des Punktes \((0|1)\) können wählen wir als Ansatz für die Funktion:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$An der Stelle \(x=1\) liegt ein Wendepunkt vor:$$0=f''(1)=6a+2b\quad\Rightarrow\quad\underline{b=-3a}$$Die Steigung der Wendetangente ist \(m=2\):$$2=f'(1)=3a+2b+c=3a-6a+c=-3a+c\quad\Rightarrow\quad\underline{c=3a+2}$$Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(W(1|-1)\):$$-1=f(1)=a+b+c+1=a-3a+3a+2+1=a+3\quad\Rightarrow\quad \underline{a=-4}$$$$f(x)=-4x^3+12x^2-10x+1$$

~plot~ -4x^3+12x^2-10x+1 ; {0|1} ; {1|-1} ; 2x-3 ; [[-1|2|-5|5]] ~plot~

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch P(0; 1) und hat in W(1;-1) einen Wendepunkt; der Anstieg der Wendetangente ist m = 2

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d

f( 0 ) = 1
f ( 1 ) = -1
f´´ ( 1 ) = 0
f ´( 1 ) = 2

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Zur Kontrolle
f(x) = -4·x^3 + 12·x^2 - 10·x + 1