Aloha :)
$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^{k+2}}{2^k}\,x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,x^k\quad;\quad a_k:=\frac{3^{k+2}}{2^k}$$Zur Bestimmung des Konvergenzradius betrachten wir:$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\left|\frac{3^{k+2}}{2^k}\cdot\frac{2^{k+1}}{3^{(k+1)+2}}\right|=\frac{2}{3}$$Die Reihe konvergiert daher für \(|x|<\frac{2}{3}\).
$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(2+x)^{2k}}{\left(2+\frac{1}{k}\right)^k}=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,\left[(x+2)^2\right]^k\quad;\quad a_k:=\frac{1}{\left(2+\frac{1}{k}\right)^k}$$Zur Bestimmung des Konvergenzradius betrachten wir:$$\frac{1}{\sqrt[k]{\left|a_k\right|}}=\sqrt[k]{{\left(2+\frac{1}{k}\right)^k}}={2+\frac{1}{k}}\;\stackrel{k\to\infty}{\to}\;2$$Die Reihe konvergiert daher, wenn \((x+2)^2<2\) gilt, das heißt für $$-2-\sqrt2<x<-2+\sqrt2$$
