Hallo ich habe eine frage. Welche Induktion ist richtiger? Ich hab die auf die erste Art gelöst, wie man im Bild sehen kann. Wie man im ersten Bild sehen kann
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion folgende Gleichung
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 \quad \forall n \in \mathbb{N}_{+}:=\{1,2,3, \ldots\} \)
Dabei ist für \( n \in \mathbb{N} \) der Ausdruck \( n ! \) definiert als \( n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot 1 \) und \( 0 !:=1 \)
Beweis.
Induktionsanfang: Für \( n=1 \) gilt
\( \sum \limits_{k=1}^{1} k \cdot k !=1 \cdot 1 !=1=(2 \cdot 1)-1=2 !-1 \)
Induktionsschritt: Sei \( n \in N_{+} \) fest aber beliebig, sodass gilt
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 $$
Dann gilt
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} k \cdot k ! &=(n+1) \cdot(n+1) !+\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k ! \\ & \stackrel{I V}{=}(n+1) \cdot(n+1) !+(n+1) !-1 \\ &=(n+1) ! \cdot((n+1)+1))-1 \\ &=(n+1) ! \cdot(n+2)-1 \\ &=(n+2) !-1 \end{aligned} \)
