Steckbriefaufgabe, gesucht wird eine Funktion vierten Grades

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(0|4) an.

Problem/Ansatz:

Stelle die Funktion auf

Answer 1

Benutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(0|4) an.

Eigenschaften

f'(0)=0
f'''(0)=0
f(1)=1.5
f''(1)=0
f(0)=4

Gleichungssystem

d = 0
b = 0
a + b + c + d + e = 1,5
12a + 6b + 2c = 0
e = 4

Funktion

f(x) = 0,5·x^4 - 3·x^2 + 4

Comments

Die Wendepunkte könnten eigentlich auch unterhalt der x-Achse liegen. Das wäre dann eine zweite Möglichkeit.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und \( \frac{3}{2} \) Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt \(P(0|4)\) an

Ich verschiebe den Graphen um 4 Einheiten nach unten:

Wendepunkte:\(W_1(1|1,5)\)  \(W_2(-1|1,5)\)→\(W´_1(1|-2,5)\)  \(W´_2(-1|-2,5)\)

relatives Maximum\(P(0|4)\)→\(P´(0|0)\)

\(f(x)=ax^2(x-N)(x+N)=ax^2(x^2-N^2)=a(x^4-N^2x^2)\)

\(W´_1(1|-2,5)\):

\(f(1)=a(1-N^2)\)  →   \(a(1-N^2)=-2,5\) → \(a(N^2-1)=2,5\)  →  \(a=\frac{2,5}{N^2-1}\) mit \(N≠±1\)

\(f(x)=\frac{2,5}{N^2-1}(x^4-N^2x^2)\)

\(f'(x)=\frac{2,5}{N^2-1}(4x^3-2N^2x)\)

\(f''(x)=\frac{2,5}{N^2-1}(12x^2-2N^2)\)

\(f''(1)=\frac{2,5}{N^2-1}(12-2N^2)\)

\(\frac{2,5}{N^2-1}(12-2N^2)=0\)

\(N^2=6\)    \(a=0,5\)

\(f(x)=0,5(x^4-6x^2)\)

Ich verschiebe den Graphen um 4 Einheiten nach oben:

\(p(x)=0,5(x^4-6x^2)+4\)