Hallo,
setze \(f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2 , (x,y)\mapsto \begin{pmatrix} y_1+\cos(y_1y_2)-y_2x_1-1\\\sin(y_1)-x_2-y_2 \end{pmatrix}\). Dabei ist \(f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^4)\) als Zusammensetzung unendlich stetig differenzierbarer Funktionen. Nun gilt:$$J_f(x_1,x_2,y_1,y_2)=\begin{pmatrix} -y_2 & 0 & 1-y_2\sin(y_1y_2) & -y_1\sin(y_1y_2)-x_1 \\ 0 & -1 & \cos(y_1) & -1 \end{pmatrix}$$ und damit:$$J_f(0,-1,0,1)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Da nun \(\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-1\neq 0\), lässt sich \(f\) nach dem Satz über implizite Funktionen in einer Umgebung von \( \left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)=(0,-1,0,1)\) lokal nach \(\vec{y}=f(\vec{x})\) auflösen.$$f'(0,-1)=-\left [ \frac{\partial f(0,-1,0,1)}{\partial (y_1,y_2)}\Large \right ]^{-1}\cdot \frac{\partial f(0,-1,0,1)}{\partial (x_1,x_2)}=-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
