Stellen sie fest ob die Reihen alternierend und konvergent sind.

Question

Aufgabe:

Stellen Sie für die folgenden Reihen fest, ob sie alternierend sind und ob sie konvergent sind.

A:$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$$

B:$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}})$$

Problem/Ansatz:

Hier weiß ich nicht ganz wie ich am besten formal feststelle ob die Reihen alternieren.

Answer 1

alternierend heißt doch:

Die Summanden sind abwechseln positiv und negativ.

Bei der 1. Reihe ist das offensichtlich, denn der Zähler ist alternierend

und der Nenner immer positiv.

Bei dem zweiten kannst du ja so argumentieren:

Für n>1 ist immer  √n < n also

1/√n  >   1/n

Durch das (-1)^n wird aber immer abwechseln

die Differenz    1/n   -  1/√n  und die

Summe  1/n   +  1/√n

Die Differenzen sind wegen 1/√n  >   1/n

immer negativ und die Summen, als

Summe zweier positiver Zahlen, immer positiv.

Also ist auch die zweite Reihe alternierend.

Für Konvergenz kannst du das Leibnizkriterium anwenden, dazu

müsstest du schauen, ob die Folge der Beträge der Summanden

streng monoton fallend ist. Bei der ersten Reihe ist das

wohl klar, weil immer 1/√n  > 1/√(n+1) gilt.

Bei der 2. ist es allerdings nicht konvergent, denn wäre es so,

dann müsste ja auch die Differenz

2. Reihe minus 1. Reihe konvergent sein, das ist aber

die als divergent bekannte harmonische Reihe.

Comments

Danke das hat mir sehr geholfen :)