Zu a)
Hier würde ich nicht die Tschebyscheffsche Ungleichung sondern die Tschebyscheffsche-Cantelli Ungleichung verwenden, da nur eine einseitige Grenze gegeben ist. Die Ungleichung sagt folgendes aus
$$ P\left\{ Y - \mathbb{E}(Y) <c \right\} \ge 1 - \frac{ V(Y) }{ V(Y) + c^2 } $$ Sei jetzt $$ Y = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i $$ dann gilt mit $$ V\left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i \right) = \frac{\sigma^2}{N} $$ wobei \( \sigma^2 \) die Varianz des Würfeln ist. Diese berechnet sich zu \( \sigma^2 = 2.917 \)
Jetzt muss man die Gleichung $$ 1 - \frac{ V(Y) }{ V(Y) + c^2} = 0.95 $$ weil \( \mathbb{E}(Y) = 3.5 \) gilt ist \( c = 1.1 \)
nach \( N \) auflösen. Das ergibt $$ N = \frac{ 0.95 \cdot \sigma^2 }{ 0.05 \cdot c^2 } \approx 46 $$ Mit der Tschebyscheffsche UNgleichung hätte man ca.$$ N = \frac{ \sigma^2 }{ 0.05 \cdot c^2 } \approx 48 $$ bekommen.
Zu b)
Die Hoeffdinger Ungleichung besagt $$ P \left\{ \sum_{i=1}^N (Y_i - \mathbb{E}(Y_i) ) < c \right\} \ge 1 - \exp\left( -\frac{2c^2}{\sum_{i=1}^N (b_i - a_i) } \right) $$ mit $$ a_i \le Y_i - \mathbb{E}(Y_i) \le b_i $$
Setzte \( Y_i = \frac{X_i}{N} \) und \( X_i \) ist die ZV des zufälligen Würfelns.
Zu zeigen ist $$ P \left\{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i < c \right\} \ge 0.95 $$ mit \( c = 4.6 \)
Es gilt $$ P \left\{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i < c \right\} = P \left\{ \sum_{i=1}^N ( Y_i - \mathbb{E}(Y_i) ) < c - N \cdot \mathbb{E}(Y_i) \right\} \ge 1 - \exp \left( -\frac{2 N (c-3.5)^2}{25} \right) = 0.95 $$
weil \( -\frac{2.5}{N} \le Y_i - \mathbb{E}(Y_i) \le \frac{2.5}{N} \) gilt.
Die Lösung ist $$ N = -\frac{ 25 \cdot \ln(0.05) }{ 2 \cdot 1.1^2} \approx 31 $$
