Folge von Zufallsvariablen

Question

Es sei \( \left(p_{n}\right) \in(0,1)^{\mathrm{N}} \) eine Folge positiver Zahlen mit \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} p_{n}=0 . \mathrm{Es} \)

sei \( \left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Zufallsvariablen mit \( \mathbb{P}\left(X_{n}=1\right)=p_{n}=1-\mathbb{P}\left(X_{n}=0\right) \) \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie, dass für jedes \( \epsilon>0 \) gilt
$$ \lim \mathbb{P}\left(\left|X_{n}-\mathbb{E}\left(X_{n}\right)\right| \geq \epsilon\right)=0 $$




Weiß jemand, wie man da rangeht, habe da echt Schwierigkeiten

Answer 1

Hallo,

wegen \( \lim_{n \rightarrow \infty} p_n = 0\) existiert für \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \) mit \( p_n < \varepsilon \) für alle \( n \geq N \).

Es ist folglich \( P(X_n = 1) < \varepsilon \) für alle \( n \geq N \).

Somit ist \( E(X_n) < \varepsilon \) für alle \( n \geq N \). Wir bemerken außerdem \( 0 \leq E(X_n) \leq 1 \). Wir nehmen \( \varepsilon < \frac{1}{2} \) an.

Es folgt

\( P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon) = P(|0 - E(X_n)| \geq \varepsilon) + P(|1 - E(X_n)| \geq \varepsilon) \)
\( = P(E(X_n) \geq \varepsilon) + P(1 - E(X_n) \geq \varepsilon) \)
\( = 0 + p_n \)
\( = p_n \)

für alle \( n \geq N \), weil

\( \varepsilon > E(X_n) \geq \varepsilon \) immer falsch und

\( 1 - E(X_n) > 1 - \varepsilon \geq \varepsilon \) für \( \varepsilon < \frac{1}{2} \) immer wahr ist.

Dies bedeutet

\( \lim_{n \rightarrow \infty} P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon) = \lim_{n \rightarrow \infty} p_n = 0 \).

Grüße

Mister

PS: Wir fassen
\( P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon) = P(|0 - E(X_n)| \geq \varepsilon) + P(|1 - E(X_n)| \geq \varepsilon) \)
als
\( P(|X_n - E(X_n)| \geq \varepsilon) \)
\(= P(X_n=0) \cdot I(|0 - E(X_n)| \geq \varepsilon) + P(X_n=1) \cdot I(|1 - E(X_n)| \geq \varepsilon) \)
auf. Hierbei fungiert \( I \) als eine Indikatorfunktion.