Bestimmen Sie die Menge der regulaeren Punkte und die der Regulaeren Werte von f.

Question

ich hattefolgende Aufgabe:
"Sei f eine stetig differenzierbare Funktion von R3 auf R2 definiert durch f(x,y,z) = (x2+y2 , y2+z2). Sei ferner M:= f^(-1)({(1,4)T}) Teilmenge R3 und p = (1, 0, 2) aus M.
Bestimmen Sie die Menge der regulaeren Punkte und die der Regulaeren Werte von f. Folgern Sie, dass M eine eindimensionale Untermannigfaltikeit des R3 ist."

Ich habe als reguläre Punkte: R3\{(x,0,0),(0,y,0)(0,0,z)}

Und als reguläre Werte habe ich R2\{(x,0),(y,y),(0,z)} mit x,y,z aus den positiven reellen Zahlen mit der Null.

Jetzt habe ich folgende Teilaufgabe:

eine Umgebung V⊂R^3 von p bestimmen, ein offenes Intervall I ⊂ R und eine C^1 Kurve g: I auf M mit g(I)=M∩V.

Hier verstehe ich aber nicht wie ich das machen soll und stehe komplett auf dem Schlauch

MfG

Answer 1

Hallo,

dies ist die Fortsetzung der Frage von gestern. \(M\) ist der Schnitt zweier Zylinder

Schneidet man die beiden Zylinder an den gestrichelten Schnittkurven aus, so erhält man:

Die Schnittkurve, die \(p\) enthält wird parametrisiert durch \(g:  t\mapsto (\sqrt{1-t^2},t,\sqrt{4-t^2})\). Was wählst du als \(V\) und als \(I\), so dass \(g(I)=M\cap V\)?

Comments

Zur Herleitung der Schnittkurve eignet sich:

https://www.geogebra.org/m/MUy2bHRt

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PS:

Du könntest auch einfach einen Ball um \(p\) legen und die Schnittkurve von der Kugel und dem Zylinder bestimmen.

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danke fuer deine Antwort und die Bilder. Ich habe da immer Probleme mir das vorzustellen. Wie gross waehle ich die Umgebung um meinen Punkt? Wenn ich diese maximal waehle kann ich bis Radius < 1 nehmen, da ich bei groesserem Radius aus der Menge M raus gehe.

Wie genau I gewaehlt wird und wie du auf die Funktion g gekommen bist verstehe ich leider noch nicht :/

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Ich wuerde jetzt Spontan sagen, dass I = [0, 1) gewaehlt wird.

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Wie groß du das Intervall wählst, hängt von der Wahl des Radius vom Ball ab.

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Dann ist das Intervall I=[0,1) fuer den offenen Ball mit Radius r<1 doch passend oder?

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Du kannst ja selbst mal rumspielen:

https://www.geogebra.org/3d/tnnbp2af

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Danke, sehr praktisch mit der Darstellung.

Hab das etwas getestet und kam jetzt auf das Intervall I = [-0.85, 0.85] fuer die offene Kugel mit dem Radius r<1. Leider weiss ich nicht wie ich ohne die Hilfe vom Programm darauf kommen koennte oder ob mein Ergebnis ueberhaupt richtig ist ^^

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Ohne Programm könntest du die Schnittpunkte der schwarzen Kurve auf der p liegt mit der Kugel berechnen. PS: Du brauchst keine Kugel mit Radius <1, du kannst auch r=1 wählen.

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Du hast ja als Kurve (√(1-t^2),t,√(4-t^2)) und die Kugel mit (x-1)^2+y^2+(z-2)^2=1

Einsetzen => (sqrt(1-t^2)-1)^2+t^2+(sqrt(4-t^2)-2)^2=1

Als Lösung erhältst du in der Tat t=±0.85512