Grenzwertaufgaben vom Typ x^n

Question

Aufgabe:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} (x^2-x+1)^n $$

$$ \lim\limits_{n\to\infty} (x(x-1))^n $$
Problem/Ansatz:

Bei diesen Typen von Grenzwert-Aufgaben habe ich keinen Ansatz. Ich weiß es hat was mit der bekannten Formel zu tun hat:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} x^n = \begin{cases} 0 \space \space \space \space \space  |x|< 1 \\ 1 \space \space \space \space \space \space x=1 \\ \infty \space \space \space \space  x>1\\ unb. div \space \space \space \space \space x \leq -1 \\ \end{cases} $$

Ich brauche allerdings ein "allgemeingültiges" Rezept für derartige Aufgabentypen.

Wichtig: Es darf kein L'Hospital verwendet werden.

Answer 1

Dum musst dich Fragen wo der Betrag der Basis >1, 1 oder < 1 ist.

|x^2 - x + 1| > 1 --> x < 0 ∨ x > 1

|x^2 - x + 1| = 1 --> x = 1 ∨ x = 0

|x^2 - x + 1| < 1 → 0 < x < 1

Comments

Hi Der_Mathecoach danke für deine Hilfe.

Bei Betragsungleichungen hab ich doch immer die Bedingung x>=0 und x<0 und dadurch ist das Innere meines Betrags positiv für x>=0 und negativ für x<0. Habe ich dann nicht bei der letzten Ungleichung als Ergebnis 0<=x<1? Sonst komme ich auf die selben Lösungen.

Muss ich den Fall x <= -1 nicht auch noch prüfen, wenn ich beweisen will das der Grenzwerte für die Lösungsmenge unbestimmt divergent ist?

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|x^2 - x + 1| > 1

Konntest du schreiben als

x^2 - x + 1 > 1 oder x^2 - x + 1 < -1

Das deckt also beide Fälle ab

|x^2 - x + 1| < 1

kannst du auch schreiben als

-1 < x^2 - x + 1 < 1

und das könntest du auch aufschreiben als

x^2 - x + 1 > -1 und x^2 - x + 1 < 1

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Ach super. Danke für die ausführliche Erklärung. Jetzt hab ich es endlich verstanden.