Aloha :)
Gemäß der Defintion der Exponentialfunktion kannst du dieses Matrix-Exponential wie folgt hinschreiben:$$e^{\sin(x)\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\left(\sin(x)\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\right)^k}{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\begin{pmatrix}0 & \sin (x)\\0 & 0\end{pmatrix}^k}{k!}$$Die Matrix im Zähler ist nilpotent ab dem Exponente \(2\), denn:$$\begin{pmatrix}0 & \sin (x)\\0 & 0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0 & \sin (x)\\0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & \sin (x)\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}$$Daraus folgt weiter:$$\begin{pmatrix}0 & \sin (x)\\0 & 0\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\quad\text{für}\quad k\ge2$$Die Potenzreihe der Exponentialfunktion vereinfacht sich dadurch erheblich:
$$e^{\sin(x)\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}0 & \sin (x)\\0 & 0\end{pmatrix}^0+\begin{pmatrix}0 & \sin x\\0 & 0\end{pmatrix}^1=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & \sin x\\0 & 0\end{pmatrix}$$$$\phantom{e^{\sin(x)\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}}}=\begin{pmatrix}1 & \sin x\\0 & 1\end{pmatrix}$$
