Zufallsvariable X1-X2, Faltung

Question

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Die Zufallsvariablen X1,X2,X3,X4 und X5 sind diskret gleichverteilt auf {1,2,3,4,5} und stochastig unabhängig.
a) Bestimmen sie die Verteilung der Zufallsvariable X1−X2
b) Bestimmen sie den Erwartungswert und die Varianz von 13(2X1+X3−X5)

Die Faltung von ZV hatten wir in der Vorlesung nur ganz knapp angesprochen und ich habe nicht wirklich verstanden, wie man solche Aufgaben löst. Um Hilfe wäre ich sehr denkbar!(ich verlange keine komplette Lösung, aber ein Ansatz wäre bereits sehr hilfreich :-))

Answer 1

Hallo,

für \( Z = X_1 - X_2 \) ist

\( P(Z = z) = P(X_1 - X_2 = z) \)
\( = \sum_{x_1=1}^5 P(X_2 = x_1 - z) P(X_1 = x_1) \)
\( = \sum_{x_1=1}^5 I_{\{1+z, \dots, 5+z\}}(x_1) \frac{1}{25} \)
\( = \frac{1}{25} \cdot \begin{cases} 0 \text{ für } z \geq 5 \text{ oder } z \leq -5 \\ 5-z \text{ für } 0 \leq z \leq 4 \\ 5+z \text{ für } -4 \leq z \leq 0 \end{cases} \).

Der Erwartungswert von \( 13(2X_1 + X_3 - X_5) \) ist

\( E(13(2X_1 + X_3 - X_5)) = 13(2 E(X_1) + E(X_3) - E(X_5)) \)
\( = 13(6 + 3 - 3) \)
\( = 78 \)

wegen \( E(X_i) = 3 \). Die Varianz des Ausdrucks ergibt sich mit \( V(X_i) = 2 \) zu

\( V(13(2X_1 + X_3 - X_5)) = 169 (4 V(X_1) + V(X_3) + V(X_5)) \)
\( = 169 \cdot 12 = 2028 \).

Erwartungswert und Varianz der diskreten Gleichverteilung kann man hier nachlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Gleichverteilung.

Grüße

Mister