Bestimmen Sie im Fall von Konvergenz den jeweiligen Grenzwert, konvergent sind.

Question

Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Folgen
(a) \( a_{n}=\frac{4 n^{4}-2 n+2}{5 n^{3}+n^{2}-10000} \)
(b) \( a_{n}=\frac{n^{3}-n+120}{n^{3}-1} \) und
(c) \( a_{n}=\frac{n^{4}-2 n^{3}+1}{n^{4}-1000} \)
konvergent sind. Bestimmen Sie im Fall von Konvergenz den jeweiligen Grenzwert.

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{4n^4-2n+2}{5n^3+n^2-10000}=\frac{4n-\frac{2}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{5+\frac{1}{n}-\frac{10000}{n^3}}\to\infty$$$$b_n=\frac{n^3-n+120}{n^3-1}=\frac{1-\frac{1}{n^2}+\frac{120}{n^3}}{1-\frac{1}{n^3}}\to\frac{1}{1}=1$$$$c_n=\frac{n^4-2n^3+1}{n^4-1000}=\frac{1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4}}{1-\frac{1000}{n^4}}\to\frac{1}{1}=1$$