Matrix mit Sinus. Abbildung auf Injektivietät etc. untersuchen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Matrix \( M_{\alpha}=\left(\begin{array}{c}\cos (\alpha) \sin (\alpha) \\ -\sin (\alpha) \cos (\alpha)\end{array}\right) \in \mathrm{M}(2 \times 2, \mathbb{R}) \) mit Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} . \) Davon ausgehend

werde die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad \vec{x} \mapsto M_{\alpha} \cdot \vec{x} \) definiert. Untersuchen Sie die Abbildung \( f \) auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Problem/Ansatz:

Hat jmd. eine Ahnung wie man das lösen könnte?

Comments

Was bedeutet das?

Answer 1

Die Abbildungsmatrix erzeugt eine Drehung um α im Uhrzeigersinn.

Answer 2

Aloha :)

Die Matrix bewirkt eine Drehung um den Ursprung um den Winkel \(\alpha\) im Uhrzeigersinn. Wenn man nun an Stelle von \(\alpha\) den Wert \(-\alpha\) einsetzt, wird im Gegenuhrzeigersinn wieder zurückgedreht. Das heißt, für jeden Winkel \(\alpha\) können wir die inverse Transformation angeben. Die Abbildung ist also umkehrbar und damit bijektiv.$$M(-\alpha)\cdot M(\alpha)=\left(\begin{array}{c}\cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & \cos (\alpha)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos (\alpha) & \sin (\alpha) \\ -\sin (\alpha)& \cos (\alpha)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$$

Answer 3

Was bedeutet, was?

Betrachte die Elemente v von R^2 als Ortsvektoren und Punkten und gleichzeitig als Punkte.

Drehungen jeden beliebigen Winkel um den Koordinatenursprung sind sicher nicht injektiv. Denn:

Sowohl eine Drehung um 20° als auch eine um 380° tun bilden den Vektor v auf den gleichen Vektor v' ab.

Surjektiv ist die Abbildung. Grund: Jeder Punkt der Grundebene wird bei einer Drehung um 0° auf sich selbst abbgeblidet. Somit ist jeder Punkt der Grundebene ein Element des Bildes der Funktion f.