Question

Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung
$$ t y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2 t $$
mit Anfangswerten \( y(1)=1 \) und \( y^{\prime}(1)=1 \) Hinweis: Substitution \( y^{\prime}:=u \)

Comments

Ist diese Frage auch von dir? https://www.mathelounge.de/744472/bestimmen-sie-die-allgemeine-losung-differentialgleichung Genügt euch die Lösung von einer der beiden Gleichungen?
Gegenseitige Hilfe möglich?

Answer 1

Hallo,

u= y'

u' = y''

--->

t *u' +u= 2t ->Variation der Konstanten

->homogene DGL:

t *u' +u=0

t u'= -u

t *du/dt= -u

du/dt= -dt/t

du/u= - dt/t

ln|u|= -ln|t| +C

uh =C1/t ---------->C1=C(t) --->Variation der Konstanten

up =C(t)/t

up'= C'(t)/t -C(t)/t^2

->up und up' in die DGL einsetzen:

t *u' +u= 2t

t (C'(t)/t -C(t)/t^2) + C(t)/t=2t ->C(t) fällt heraus

C'(t)= 2t

C(t)= t^2


up= C(t)/t =t^2/t =t

u=uh +up= C1/t +t

Resubstitution: u =y'

y'= C1/t +t

y= C1 ln|t| +t^2/2 +C2

-Einsetzen der AWB: y(1) =1 ,y'(1)=1

Lösung

y(t)=t^2/2 +1/2

Answer 2

Aloha :)$$ty''+y'=2t\quad;\quad y(1)=1\;\;;\;\;y'(1)=1$$Wir folgen dem Tipp und lösen die homogene DGL mittels der Substitution \(u_0:=y'\):$$\left.tu'_0+u_0=0\quad\right|\quad \cdot\frac{1}{u_0t}$$$$\left.\frac{u'_0}{u_0}+\frac{1}{t}=0\quad\right|\quad\text{integrieren mit \(c_1=\)const}$$$$\left.\ln|u_0|+\ln|t|+c_1=0\quad\right|\quad -\ln|t|-c_1$$$$\left.\ln|u_0|=-\ln|t|-c_1\quad\right|\quad e^{\cdots}$$$$\left.u_0=e^{-\ln|t|-c_1}=\frac{1}{e^{\ln|t|}}\,e^{-c_1}=\frac{c_2}{t}\quad\right|\quad c_2:=e^{-c_1}>0\;;\;c_2=\text{const}$$

Wir variieren die "Konstante" \(c_2=c_2(t)\), um die inhomogene Gleichung zu lösen:$$2t\stackrel{!}{=}t\cdot\left(\frac{c_2(t)}{t}\right)'+\frac{c_2(t)}{t}=t\cdot\left(\frac{c_2'(t)\cdot t-c_2(t)}{t^2}\right)+\frac{c_2(t)}{t}=c_2'(t)$$$$\Rightarrow\quad c_2(t)=t^2+c_3\quad;\quad c_3=\text{const}$$Damit lautet die Lösung der inhomognen DGL:$$u(t)=\frac{t^2+c_3}{t}=t+\frac{c_3}{t}$$Wegen der Randbedingung \(1=y'(1)=u(1)\) folgt sofort \(c_3=0\). Damit ist nun:$$y(t)=\int u(t)\,dt=\frac{t^2}{2}+c_4\quad;\quad c_4=\text{const}$$Wegen der Randbedingung \(1=y(1)\) muss \(c_4=\frac{1}{2}\) sein:$$\boxed{y(t)=\frac{t^2+1}{2}}$$