Für welche Werte a,b ∈ R ist die Funktion auf ganz R a) stetig, b) differenzierbar?

Question

Für welche Werte a, b ∈ R hat die Funktion

f(x) = (x^2 für x ≤ 1

.        ax + b für x > 1
für alle x ∈ R die folgende Eigenschaft:
a) Stetigkeit b) Differenzierbarkeit

Hallo Leute, ich bräuchte bei der Aufgabe dringend eure Hilfe. Ich schreibe nächste Woche Freitag eine Klausur und bin mir sicher das eine solche Aufgabe in der Klausur in der Art dran kommen wird. Leider habe ich nur keine Ahnung wie ich hier Argumentiere, bzw. vorgehe.



Vielleicht nimmt sich einer mal die Zeit und löst mir die Aufgabe, damit ich sie zur Klausur dann kann.



Lg Gustavo

Answer 1

Das könnte unter die Rubrik einer Trassierungs-Aufgabe fallen.

Gegeben ist \(f(x)=\begin{cases}x^2 \, \quad \, \, \,\,\text{ falls } x\leq 1 \\ ax +b \, \, \text{falls } x>1 \end{cases}\) mit \(a,b\in \mathbb{R}\).

Für \(x>1\) ist \(f\) stetig als Polynom, ebenso für \(x\leq 1\). Gleiches Argument für die Differenzierbarkeit. Interessant ist nur, was an der Nahtstelle \(x=1\) passiert.

Um stetig zu sein, muss \(ax+b=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1\), also \(a=2\) und \(b=-1\). Die Differenzierbarkeit überprüfst du, indem du schaust, ob \(\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)\).

Comments

ax+b=f′(1)(x−1)+f(1)

Könntest du mir mal erklären, wieso das gilt?

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Die Funktion, die du suchst, die möglichst glatt an der Stelle übergeht, muss an dieser die gleiche Steigung und Funktionswert besitzen.

Answer 2

f(x) = x^2 für x ≤ 1
f(x) = ax + b für x > 1

f´( x ) = 2x für x ≤ 1
f´(x) = a für x > 1

Stetigkeit
f(1) = 1^2 
f(1) = a * 1 + b   => a + b = 1

Diff-barkeit
f´( 1 ) = 2*1 = 2
f´(1) = a   => a = 2

a + b = 1
2 + b = 1
b = -1

f(x) = 2 * x -1 für x > 1