Folgende Aufgabe habe ich gegeben:
$$\text{Es sei } V \text{ ein Vektorraum über dem Körper } \mathbb{R} \text{ mit der Basis } \mathcal{B}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \text{ und } \varphi: V \rightarrow V \\ \text{ eine lineare Abbildung, die durch die folgende Abbildungsmatrix bestimmt ist:}\\ M_{B}^{B}(\varphi):=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}\right)\\ \text{ Außerdem sei die Basis } \mathcal{A}:=\left(b_{2}+b_{3}, b_{1}+b_{2}, b_{1}+b_{2}+b_{3}\right) \text{ gegeben. Bestimmen Sie }\\ M_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}(\varphi) \text{ und geben Sie die benötigten Transformationsmatrizen an.}$$
Folgende Gleichung habe ich dafür aufgestellt: $$M_{A}^{A}=T_{A}^{B}*M_{B}^{B}*T_{B}^{A}$$ $$\text{Folgende Transformationsmatrizen habe ich raus: } $$ $$T_{A}^{B}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ $$T_{B}^{A}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $$\text{Zum Schluss habe ich für } M_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}(\varphi) \text{ raus: } M_{A}^{A}(\varphi)=\left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & -1 \\ -9 & -4 & -8 \\ 11 & 7 & 11 \end{array}\right)$$
Kann mir jemand sagen, ob das stimmt?
