Zeige Menge ist offen und zeige Kompaktheit

Question

Hey ich soll zeigen, dass K offen ist und ℝ²∖K nicht kompakt ist.

K={(x,y)∈ℝ²: 1<|x|+|y|<2}

Könnt ihr mir auch einen generellen Weg sagen, wie ich "offen" für jede Menge zeigen kann? Ich hab damit noch Probleme leider

Answer 1

 $$K=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : |x|+|y|>1 \, \land \, |x|+|y|<2\} \\ \, \, \, \, \,= \underbrace{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : |x|+|y|>1\}}_{=:K_1}\cap \underbrace{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : |x|+|y|<2\}}_{=:K_2}$$ Der Durschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Wir zeigen also, dass $K_1$ und $K_2$ offen sind. Dafür definieren wir $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \, (x,y)\mapsto |x|+|y|$. Die Betragsfunktion ist auf ganz $\mathbb{R}$ stetig, damit ist auch $f$ auf ganz $\mathbb{R}^2$ stetig.

$K_1$ ist das Urbild der offenen Menge $\{z\in \mathbb{R} : z>1\}$

$K_2$ ist das Urbild der offenen Menge $\{z\in \mathbb{R} : z<2\}$

Dass $\mathbb{R}^2\backslash K$ nicht kompakt ist, liegt daran, dass diese Menge nicht beschränkt ist.

Addendum:

Die Menge $K$ sieht übrigens so aus: