Bestimmen + Zeichnen der Veteilungsfunktion Fx von X, Berechnen von Var, E

Question

Aufgabe:

Die reellwertige Zufallsvariable X habe eine absolut stetige Verteilung mit Dichte
f_X : R → [0,∞),
f_X(x) = 3/2 x²(x+1) * 1_[-1,1](x) 

Bestimmen + Zeichnen der Veteilungsfunktion F_x von X, Berechnen von Var, E

Problem/Ansatz:

mich verwirrt die ganze Aufgabe etwas. Vor allem das 1_[-1,1](x). Kann mir jemand die Vorgehensweise erklären?

Comments

Hallo,

das \(1_{[-1,1]}(x)\) wird wohl die "charakteristische Funktion" des Intervalls \([-1,1]\) bezeichnen. Diese Funktion nimmt auf dem Intervall \([-1,1]\) den Wert 1 an und für alle anderen Argumente den Wert 0.

Gruß

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In der Lösung wurde es so angegeben:

F_x(t) = { 0    -->     t < -1; 3/8 (t⁴+1) + 1/2 (t³ -1)   --> -1  ≤ t < 1; 1     --> 1 ≤ t}

ich kann hier aber nicht nachvollziehen wie er auf das mittlere gekommen ist. Offensichtlich arbeitet man ja bei absolut stetigem Wahrscheinlichkeitmaß mit Integralen. Wenn ich aber f_x(x) = 3/2 x²(x+1) aufleite kommt bei mir 3/8 x⁴ + 1/2 x³ raus. Es besteht offensichtlich eine Ähnlichkeit mit dem Ergebnis aber irgendwie peile ich da nicht ganz durch.

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ich meinte F_x(t)

Answer 1

Hallo,

die Verteilungsfunktion ist ja so definiert: \(F(t)=\int_{-\infty}^t f(x) dx\). Für \(t<-1\) ist im gesamten Integrationsbereich die Dichte \(f\) gleich 0, das Integral liefert also 0. Für \(t \in [-1,1]\) tragen die x-Werte mit \(x<-1\) nichts zum Integral bei, man hat also

$$F(t)=\int_{-\infty}^t f(x) dx=\int_{-1}^t f(x) dx=\left. \frac{3}{8}x^4+\frac{1}{2}x^3 \right|_{x=-1}^t$$

$$=\frac{3}{8}(t^4-1)+\frac{1}{2}(t^3+1).$$

Für \(t>1\) tragen die x-Werte mit \(x>1\) nichts bei und es bleibt bei \(F(t)=1\).

Wie Du siehst, weicht meine Lösung von Deiner ab. Fehler beim Abschreiben? Fehler in der Musterlösung? Mein Fehler? Letzteres scheint mir unwahrscheinlich, weil meine Lösung eine stetige Verteilungsfunktion liefert.

Gruß