Normalengleichung der Ebene E

Question

Aufgabe:

Normalengleichung einer Ebene bestimmen:

A(0|2|0) B(2|1|2) C(1|0|2)

Problem/Ansatz:

hierzu muss ich ja erstmal die Parameterform aufstellen oder? wenn ja:

(0/2/0) + r * (2/1/2) + s * (1/-2/0)

Bestimmung des Normalen vektors:

(x/y/z)* (2/1/2) = 0  , (x/y/z)* (1/-2/0)=0

->

I. 2x+y+2z =0

II. x-2y=0

jetzt kann man weil das System ''unterbestimmt'' ist, eine variable frei aussuchen oder? z.b. Z= c

und c kann dabei auch frei gewählt werden oder?

kann mir dann noch jemand beim auflösen helfen falls alles hier richtig sein sollte?

Answer 1

Fehler in Parameterform: (Richtungsvektoren)

x = (0/2/0) + r * (2/-1/2) + s * (1/-2/2)

I. 2x-y+2z =0

II. x-2y+2z=0

jetzt kann man weil das System ''unterbestimmt'' ist, eine variable frei aussuchen oder? z.b. Z= c

Besser erst mal I minus II gibt x + y = 0

Dann etwa y = c oder auch y=1
==>    x = -y = -1

in die erste eingesetzt

-1*2-1+2z=0 ==>   z = 1,5

Also z.B. n = (-1  ;  1  ; 1,5 )  oder ( -2 ; 2 ; 3 ) ein Normalenvektor.

==>  E :  -2x + 2y +3z = d mit (0/2/0) gibt es d= 4

Also E :   -2x + 2y +3z = 4

Vorsichtshalber Probe durch Einsetzen der 3 Punkte

A(0|2|0)    0 +2*2 - 0 = 4  ✓

B(2|1|2)    -2*2+2*1+3*2 = 4 ✓

C(1|0|2)    -2*1 +2*0 +3*2 = 4 ✓

vektoriell geschrieben ist das dann wohl eine Form der Normalengleichung:

$$\begin{pmatrix} -2\\2\\3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=4$$

Comments

Normalengleichung einer Ebene bestimmen

Du hast die Koordinatengleichung statt der Normalengleichung gemacht oder?

Answer 2

Normalengleichung einer Ebene bestimmen: A(0|2|0) B(2|1|2) C(1|0|2).

Da in der Aufgabe kein Weg vorgegeben wird ist es das einfachste die Koordinatenform über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren zu berechnen.

AB = [2, -1, 2]

AC = [1, -2, 2]

AB x AC = [2, -2, -3]

Normalenform:

E: (X - [0, 2, 0])·[2, -2, -3] = 0

Koordinatenform:

E: 2·x - 2·y - 3·z = - 4