Beschränktheit einer Folge zeigen 2n-1/(n+1)^2

Question

Aufgabe:

Beschränktheit von der Folge  $$ (an)n \in\mathbb{N}: \frac{2n-1}{(n+1)^2} $$

Verlauf der Folge: $$ \frac{1}{4},\frac{3}{9},\frac{5}{16},\frac{7}{25},\frac{9}{36},... $$

Problem/Ansatz:

1. Könnte mir jemand sagen, ob das "Nach unten beschränkt" richtig ist?

2. Ich weiß nicht wie ich bei "Nach oben beschränkt" weiter machen soll mit der Ungleichung

Comments

Deine Ausführungen zu "nach unten beschränkt" sind falsch.

Die Aussage 1/2<n ist keineswegs äquivalent zu "Infimum(a_n)=1/2", falls du dieses meintest. Aus der Aussage 1/2<n folgt keineswegs "Infimum(a_n)=1/2", falls du dieses meintest.

Die von dir benutzte Formulierung "Infimum={1/2}" ist ohnehin nicht richtig, denn das Infimum ist, wenn es denn existiert, eine Zahl und keine Menge.

Du musst außerdem vorher klären, ob \(0\in \mathbb{N}\) sein soll oder nicht.

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\(0\notin \mathbb{N}\), vgl. erstes aufgelistetes Folgenglied.

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@rc: Falls das Teil der Angabe ist, wäre das klar. Falls es Teil des Lösungsansatzes ist, bleibt die Frage offen und ihre Beantwortung hat Auswirkungen auf die mögliche untere Schranken.

Für \(0\notin\mathbb{N}\) lässt sich die Folge übrigens so schreiben: $$\frac{1}{1+3},\frac{3}{1+3+5},\frac{5}{1+3+5+7},\\\frac{7}{1+3+5+7+9},\frac{9}{1+3+5+7+9+11},...$$

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Stimmt, da habe ich mich wohl vertan.

Das Infimum=0.

Könnte ich als Abschluss Satz folgendes schreiben?

=> Das Infimum(a_n)=0 und es existiert kein Minimum

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0∉ℕ, habe ich vergessen hinzuschreiben

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Bisher ist nur gezeigt, dass 0 eine untere Schranke von a_n ist.

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Reicht das noch nicht? Was muss ich denn noch zeigen?

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Lass das mit dem Infimum weg, schließlich soll ja nur die Beschränktheit gezeigt werden.

Answer 1

Ich weiß nicht wie ich bei "Nach oben beschränkt" weiter machen soll

Vorschlag:

6n-3≤n²+2n+1 lässt sich umformen zu 0≤n²-4n+4

und es gilt 0≤n²-4n+4=(n-2)².

Comments

6n-3≤n^{2}+2n+1 lässt sich umformen zu 2≤n^{2}-4n+4

Das lässt sich umformen zu $$0≤n^{2}+4n+4=\left(n+2\right)^2$$

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Wäre mit 0 ≤ n^2+4+4n=(n+2)^2 schon gezeigt, dass das die obere Schranke ist?

Nochmal eine allgemeine Frage, muss ich wenn nach Beschränktheit gefragt ist, auch "Infimum, Supremum, Min, und Max" angeben?

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Wäre mit 0 ≤ n^{2}+4+4n=(n+2)^{2} schon gezeigt, dass das die obere Schranke ist?

Gezeigt wird damit, dass $$\dfrac{2n-1}{(n+1)^2} \le \dfrac 13 $$ äquivalent ist zu $$ 0 \le (n+2)^{2}$$ was offenbar für alle n richtig ist. Damit ist 1/3 eine (nicht die!) obere Schranke der Folge \(\left(a_{n}\right)\).

...muss ich, wenn nach Beschränktheit gefragt ist, auch "Infimum, Supremum, Min, und Max" angeben?

Falls nur die Beschränktheit gezeigt werden soll, nicht. Die genaue Aufgabenstellung kann allerdings mehr fordern. In jedem Fall kann man sich natürlich Gedanken drüber machen.