Eingeschlossenen Flächeninhalt mithilfe von Integralrechnung bestimmen

Question

Aufgabe: die Aufgabe ist das ich den Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossene Fläche berechnen soll. Mithilfe der Integralrechnung. Schnittpunkte habe ich jetzt den Rest kriege ich leider auch nicht hin. Dankeschön☺️

Gegeben ist:

F(x)= -x^4+5x^2

G(x)= x^2

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht wie ich den Flächeninhalt bestimmen soll.

Answer 1

Hallo,

du bildest von der Differenzfunktion \(-x^4+4x^2\) die Stammfunktion und berechnest z.B. das Integral von -2 bis 0. Wie du aus der Skizze von Tschakabumba siehst, sind die Funktionen symmetrisch zur y-Achse, so dass du den Integralwert dann nur noch verdoppeln musst.

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Du musst die Differenz der beiden Funktionen bilden und von einer Nullstelle zur nächsten integrieren:$$d(x)=F(x)-G(x)=(-x^4+5x^2)-x^2=-x^4+4x^2=-x^2(x^2-4)$$$$\phantom{d(x)}=-x^2(x-2)(x+2)$$Die Nullsellen liegen bei \(-2;0;2\).

~plot~ -x^4+5x^2 ; x^2 ; {-2|4} ; {2|4} ; {0|0} ; [[-3|3|-3|10]] ~plot~

Damit lautet die gesuchte Fläche:

$$F=\left|\,\int\limits_{-2}^0(-x^4+4x^2)\right|+\left|\,\int\limits_{0}^2(-x^4+4x^2)\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{0}^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{4}{3}x^3\right]_{0}^2\right|=\frac{64}{15}+\frac{64}{15}=\frac{128}{15}$$