Beziehung zwischen Ebene E und Geraden g

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g, die durch
die Punkte P(2|1|2) und Q(1|0|1) verläuft!
b) Welchen Winkel schließen g und E ein?
c) Welchen Abstand hat der Punkt Z1(–4|1|–1) von E?
d) Welchen Abstand hat Z2(1|2|– 4) von g?

Die Ebene E hat die Punkte A(1|-1|2), B(2|1|8) und C(-1|-2|2)

Problem/Ansatz:

Meine berechnete Koordinatenform für E ist:

6x₁ -12x₂ +3x₃ = 24

Die von mir aufgestellte Koordinatenform für g ist:

x₁ +x₂ + x₃ - 5 = 0

Stimmt die Koordinatenform für g? Brauche ich diese überhaupt für die Berechnung von a) ?

Ich wäre für Ansätze und Erklärungen wirklich dankbar.

Answer 1

Parameterform der Ebene
E: X = [1, -1, 2] + r·[1, 2, 6] + s·[-2, -1, 0]

Normalenvektor der Ebene
N = [1, 2, 6] ⨯ [-2, -1, 0] = 3·[2, -4, 1]

Koordinatenform der Ebene
E: 2·x - 4·y + z = 8

Parameterform der Geraden
g: X = [2, 1, 2] + t·[-1, -1, -1]

a) Schnittpunkt
[1, -1, 2] + r·[1, 2, 6] + s·[-2, -1, 0] = [2, 1, 2] + t·[-1, -1, -1] → r = -1 ∧ s = 2 ∧ t = 6
S = [2, 1, 2] + 6·[-1, -1, -1] = [-4, -5, -4]

b) Schnittwinkel
α = ARCSIN( [2, -4, 1]·[-1, -1, -1] / (|[2, -4, 1]|·|[-1, -1, -1]|) ) = 7.238°

c) Abstand Z1 zu E
d = |2·(-4) - 4·(1) + (-1) - 8| / √(2^2 + 4^2 + 1^2) = √21 = 4.583

d) Abstand Z2 zu g
d = |([1, 2, -4] - [2, 1, 2]) ⨯ [-1, -1, -1]| / |[-1, -1, -1]| = √26 = 5.099

Comments

Danke für die Antwort.

Ich verstehe leider d) noch nicht wirklich. Vielleicht stehe ich auch auf dem Schlauch. Könnten Sie mir erklären, wie sie dabei vorgegangen sind?

Answer 2

Geraden haben keine Koordinatenform im R³ - besten falls 2 Ebenen die g als Schnitt enthalten...

Für E würde ich

E:2x1 - 4x2 + x3 = 8

wählen und die Gerade

g(t): (x1,x2,x3)^T = (2,1,2)^T +t ((1,0,1)-(2,1,2))^T

einsetzen...

Durchstoßpunkt = (-4,-5,-4)

Comments

"Geraden haben keine Koordinatenform im R3 - besten falls 2 Ebenen die g als Schnitt enthalten..."

Wenn ich zwei Punkte im R3 nehme, dann verläuft eine Gerade durch diese beiden Punkte.

Für jeden Punkt der Geraden Pg, existiert genau ein s in R, so dass

Pg = P1 + s(P2-P1)

Ist das keine Koordinatenform im R3?

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Das ist eine Parameterform mit s als Parameter. Es gibt unendlich viele Parameterformen einer Geraden je nach dem was als Ortsvektor genommen wird und das s-vielfache des Richtungsvektors

Koordinatenformen stellen eine Beziehung zwischen den Koordinaten her - alle "Punkte" deren Koordinaten eine bestimmte Eigenschaft haben, wie z.B. x+y+z=0...

Answer 3

Die von mir aufgestellte Koordinatenform für g ist: x₁ +x₂ + x₃ - 5 = 0.

Das ist nicht die Koordinatenform einer Geraden.

Suche in Netz unter "Schnittwinkel Gerade-Ebene", dann weißt du, was du brauchst.

Answer 4

Die "Koordinatenform", die du für die Gerade g angibst, ist unsinnig.

Was du da angibst, wäre die Gleichung irgendeiner Ebene, aber keine Geradengleichung. Übrigens erfüllt nicht einmal der Punkt Q (welcher auf g lioegen sollte) diese Gleichung.

Für die Gerade g brauchst du eine vektorielle Parametergleichung, die du z.B. so aufstellen kannst:

(x|y|z) = (1|0|1} + t * [(2|1|2) - (1|0|1)]

Die (richtige) Koordinatengleichung für die Ebene E könntest du übrigens mit 3 kürzen.

Answer 5

Hallo,

a) Bilde die Parametergleichung der Geraden \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\1 \\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -1\\-1\\-1 \end{pmatrix}\) und setze ihre Koordinaten in die Ebenengleichung ein, um r zu ermitteln:

\(2(2-r)-4(1-r)+2-r=8\\ r=6\)

Setze r = 6 in die Geradengleichung ein und du erhältst die Koordinaten des Schnittpunktes.

b) zur Berechnung des Winkels zwischen Ebene und Gerade verwendest du die Formel

$$sin(\alpha)=\frac{|\vec{n}\circ\vec{u}|}{|\vec{n}\cdot\vec{u}|}$$

\( \vec{n} \) ist der Normalenvektor der Ebene und \( \vec{u} \) der Richtungsvektor der Geraden.

c) Zur Berechnung des Abstandes verwende die Formel

$$d(Z_1;E)=\frac{|n_1z_1+n_2z_2+n_3z_3-8)|}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}$$

d) Abstand des Punktes Z₂ zur Geraden

Du kannst z.B. mit dem Lotfußpunktverfahren den Punkt ermitteln, der auf der Geraden liegt und senkrecht zu Z₂ ist.

Der Punkt L hat die Koordinaten (2-r|1-r|2-r)

Der Verbindungsvektor zwischen Z₂ und L ist \( \vec{l} \) -\( \vec{z} \)\(=\begin{pmatrix} 2-r\\1-r\\2-r \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\2\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-r\\-1-r\\6-r \end{pmatrix}\)

Das Skalarprodukt zwischen diesem Vektor und dem Richtungsvektor der Geraden mus null sein. Bilde die entsprechende Gleichung und löse nach r auf. Setze dein Ergebnis für r in die Koordinaten von L ein. Den Abstand zwischen den beiden Punkten Z₂ und L berechnest du mit d = |\( \vec{Z_2L} \) |

Gruß, Silvia