Vom rechteckigen Werbeaufsteller der Firma „Super-Sommersonnen-Eis“ mit den Maßen 72cm x 32 cm wurde ein parabelförmiges Stück P mit p(x) = -0,125x² +32 durch unsachgemäße Lagerung heraus gebrochen.
Wie wir gesehen haben, hilft uns der Name der Firma nicht weiter, wichtiger wäre zu wissen, wo das Stück heraus gebrochen
ist. Wenn keine Skizze möglich ist, müss die Koordinaten der Eckpunkte des Schildes angegeben werden.
Nun liegt diese vermutlich nicht schief im Raum.
Ich würde, auch weil die Lösung dann einfacher ist, sagen dass die Punkte
folgender massen liegen.
P1 ( 0 I 0) P2 ( 72I 0) P3 (72I32)
P3 (0 I32)
Nun müssen wir uns die Parabel betrachten.
p(x) = -0,125x² +32
Wir haben eine zur Y-Achse symmetrische nach unten offene Parabel, deren Scheitelpunkt liegt bei S( 0 I 32)
Wir betrachten den Nullpunkt.
p(x) = -0,125x² +32 = 0
x²= 32*8=64*4
x = \( \sqrt{64*4} \) = 16
(-16 liegt außerhalb des Bereiches. )
Der Nullpunkt liegt bei P(16 I 0)
Jetzt können wir uns an die Arbeit machen.
Doch dazu noch ein kleiner Gedanke.
Wir können die Werbetafeln drehen und wenden, auch das Koordinatensystem ist veränderbar.
Darum denke ich mir die nach oben offene Parabel
p(x) = 0,125x² der Scheitelpunkt ist der Nullpunkt und das Minimum.
S(0 I 0) bei P(16 I 32) schneidet sie die Tafel, also unseren Definitionsbereich
Definitionsbereich
( 0≤x≤72 I 0≤y≤32)
Jetzt können wir eine Funktion für die Fläche angeben.
A(x) = (72 - x) * y
A(x) = (72 - x) * (1/8)x²
A(x) = - 1/8 x³ + 9x²
A(0) =0
Doppelte Nullstelle x =72 ist eine weitere doch x² /8 >32
A(16)= 9 *16^2 - 2*16^2 = 1792 cm²
bilden wir also die Ableitung von
A(x) = - 1/8 x³ + 9x²
A' (x)= -3/8 x² +18 x
Nullstelle bei x=0 zweite Nullstelle bei
x = 18*8/3 = 48 doch diese liegt außerhalb.
Wir bekommen als größte Fläche also
A(16)= 9 *16^2 - 2*16^2 = 1792 cm²
