Kombinatorik und Stochastik Aufgaben

Question

Aufgabe:

1.

a) Bestimmen sie die Anzahl nichtleerer Teilmengen einer n-elementigen Menge M.

b) Bestimmen sie die nichtleeren Teilmengen von = {1, ... ,4}

c) Zeigen sie dass 2ⁿ = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{(\frac{n}{k}}) \)

2.

a) Bestimmen sie alle ungeordneten Zahlpartitionen von 4.

b) Geben sie dazu jeweils die Young-Diagramme an.

c) Beweisen sie dass P(n + 1, m + 1) = P(n − m, m + 1) + P(n, m)

3.

Sei Ω = ℕ₀ und m: Ω → ℝ, j ⟼ (1 − x) ∗ ^j . Für welche ∈ R ist m eine Für welche ∈ ℝ ist m eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?

4.

Gegeben sei 3-maliger Münzwurf mit Ω = {0, 1}³ . Wir definieren 1 als Kopf und 0 als Zahl. Sei X_i das
Ergebnis des i-ten Wurfes.

a) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X1 + X2 + X3.

b) Bestimmen sie E[X1 + X2 + X3]

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgaben in meiner Klausur gehabt und habe nicht viele Punkte bekommen, da ich es leider zum Teil falsch gelöst habe. Mir wurde aber nicht erklärt warum und eine Musterlösung gibt es leider nicht.

Jetzt möchte ich verstehen was ich falsch gemacht habe, aber kann die Aufgaben nicht lösen, da ich nicht weiß wie ich es sonst machen soll. Mein Tutor kann es mir nicht erklären, da er somit sonst die Lösung preisgeben würde und das darf er nicht, ich muss es also selbst lösen, damit er sagen kann ob es richtig oder falsch ist.

Ich habe es versucht und bei meinen weiteren Lösungen konnte mir der Tutor keine guten Tipps geben, deswegen frage und bitte ich hier um Hilfe!

Ich danke im Voraus!

Comments

Wenn die Aufgaben nichts miteinander zu tun haben solltest du sie getrennt als Fragen stellen.

Du kannst dann eventuell Antworten auf Fragen auch auf andere Fragen anwenden.

Günstig ist es ebenfalls wenn du mittels wo konkret die Probleme liegen.

Manchmal sind Kombinatorikaufgaben ja schon durch einsetzen in eine Formel lösbar.

Answer 1

Aloha :)

a) Eine \(n\)-elementige Menge hat genau \(2^n\) Teilmengen. Wenn man die leere Menge herausnimmt, bleiben \(2^n-1\) nicht-leere Teilmengen.

b) \(\{1\}\),\(\{2\}\),\(\{3\}\),\(\{4\}\)

\(\quad\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\)

\(\quad\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\}\)

\(\quad\{1,2,3,4\}\)

c) Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gilt:$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot1^k=(1+1)^n=2^n$$

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Dankeschön!!

Answer 2

a)

2^n - 1

b)

{1} ; {2} ; {3} ; {4} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {1, 4} ; {2, 3} ; {2, 4} ; {3, 4} ; {1, 2, 3} ; {1, 2, 4} ; {1, 3, 4} ; {2, 3, 4} ; {1, 2, 3, 4}

2^4 - 1 = 15

c)

∑ (k = 0 bis n) (n über k) = 2^n

Induktionsanfang: n = 0

∑ (k = 0 bis 0) (0 über k) = 2^0
(0 über 0) = 2^0
1 = 1 → stimmt

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 0 bis n + 1) (n + 1 über k) = 2^(n + 1)
∑ (k = 0 bis n) (n + 1 über k) + (n + 1 über n + 1) = 2^(n + 1)

Es gilt: (n + 1 über k) = (n über k - 1) + (n über k)

∑ (k = 0 bis n) ((n über k - 1) + (n über k)) + 1 = 2^(n + 1)
∑ (k = 0 bis n) (n über k) + (n über -1) - (n über n) + 2^n + 1 = 2^(n + 1)
2^n + 0 - 1 + 2^n + 1 = 2^(n + 1)
2^n + 2^n = 2·2^n
wahr

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Vielen Dank!