Schnittgerade Vektorrechnung Senkrecht

Question

Aufgabe:

p1=(0;3;6) und p2=(-1;1;3) und die beiden Ebenen E1: x+y+z=3  E2:2x-y-z=0

gesucht ist die Gerade durch P2 Senkrecht zur Schnittgerade der Beiden Ebenen

Problem/Ansatz:

wer kann mir helfen

wie löst man das

Answer 1

p1 = (0 ; 3 ; 6) und p2 = (-1 ; 1 ; 3) und die beiden Ebenen E1: x + y + z = 3  E2: 2x - y - z = 0 gesucht ist die Gerade durch P2 Senkrecht zur Schnittgerade der Beiden Ebenen

Zunächst bestimmt man die Schnittgerade der Ebene. Das [1, 1, 1] eine Lösung beider Ebenen ist sollte man ohne groß zu rechnen sehen. Damit hat man also bereits den Ortsvektor der Geraden. Braucht man nur noch den Richtungsvektor. Diesen erhält man am einfachsten über das Kreuzprodukt der Normalenvektoren.

[1, 1, 1] ⨯ [2, -1, -1] = [0, 3, -3] = 3·[0, 1, -1]

Also lautet die Schnittgerade

s: X = [1, 1, 1] + r·[0, 1, -1]

Als nächstes berechnet man einen Punkt Q auf der Geraden s, sodass die Strecke P2Q senkrecht zur geraden s ist.

([1, 1, 1] + r·[0, 1, -1] - [-1, 1, 3])·[0, 1, -1] = 0 --> r = -1

Q = [1, 1, 1] - 1·[0, 1, -1] = [1, 0, 2]

Jetzt locker die Gerade durch P2 und Q aufstellen

g: X = [-1, 1, 3] + r·[2, -1, -1]

Comments

a)die gerade durch P1 parallel zur schnittgeraden der beiden

habe ich für P1

(0,3,6)+Z*(0,-1,1)

b) Die Parameterdastellunggen der beiden Ebenen an

E1 :Χ =(3,0,0)+ r*(-1,1,0)+ S(-1,0,0)

E2 : Χ=(1/2,0,0)+a(1,1,0)+b(1,0,1)

---

Stimmen Sie meine Antwort ?

---

Die parallele Gerade zur Schnittgeraden hast du richtig aufgestellt.

Für die Ebenengleichungen erhalte ich:

$$E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -3\\3\\0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -3\\0\\3 \end{pmatrix}\\E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}$$

---

Zunächst bestimmt man die Schnittgerade der Ebene. Das [1, 1, 1] eine Lösung beider Ebenen ist sollte man ohne groß zu rechnen sehen. Damit hat man also bereits den Ortsvektor der Geraden. Braucht man nur noch den Richtungsvektor. Diesen erhält man am einfachsten über das Kreuzprodukt der Normalenvektoren.

[1, 1, 1] ⨯ [2, -1, -1] = [0, 3, -3] = 3·[0, 1, -1]

Also lautet die Schnittgerade

s: X = [1, 1, 1] + r·[0, 1, -1]

Als nächstes berechnet man einen Punkt Q auf der Geraden s, sodass die Strecke P2Q senkrecht zur geraden s ist.

([1, 1, 1] + r·[0, 1, -1] - [-1, 1, 3])·[0, 1, -1] = 0 → r = -1

Q = [1, 1, 1] - 1·[0, 1, -1] = [1, 0, 2]

Jetzt locker die Gerade durch P2 und Q aufstellen

g: X = [-1, 1, 3] + r·[2, -1, -1]

wie so schreiben sie [1,1,1]  ist es nicht (1,2,0)?

---

Text erkannt:

\( P=(0,3,6) \) und \( P_{2}=(-1,2,5) \)
\( a+y+z=3 \)
\( \frac{2 x-y-z=0}{3 k-2-3} \quad E_{1} \cdot \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 8\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}-1 \\ \frac{1}{6}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-1 \\ 8\end{array}\right) \)
\( A=3 / 3 \)
\( \hat{h}=1 \)
blas Eirstzyn \( z=b \in \mathbb{R} \)
\( 1+y+z=3 \)
\( \{2: 2 x-y-z=0 \)
\( 2 x-a-b=0 \)
\( y=3-z-1 \)
\( \left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 6\end{array}\right)+r^{*}\left(\begin{array}{c}0 \\ -1\end{array}\right) \quad \Rightarrow\left(\begin{array}{l}N \\ y \\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 / 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}a \\ a \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}b \\ 0 \\ b\end{array}\right) \)
\( \left.E_{2} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}12 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+a\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+6 \begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
Elenen or
Gresuch is st di Granade duch
\( z=s \in R \)
\( A+r+s=3 \quad \) Beide Elengn
\( \frac{a=3-r-5}{11 a+c} \)

---

Text erkannt:

\( P=(0,3,6) \) und \( P_{2}=(-1,2,5) \)
\( a+y+z=3 \)
\( \frac{2 x-y-z=0}{3 k-2-3} \quad E_{1} \cdot \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 8\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}-1 \\ \frac{1}{6}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-1 \\ 8\end{array}\right) \)
\( A=3 / 3 \)
\( \hat{h}=1 \)
blas Eirstzyn \( z=b \in \mathbb{R} \)
\( 1+y+z=3 \)
\( \{2: 2 x-y-z=0 \)
\( 2 x-a-b=0 \)
\( y=3-z-1 \)
\( \left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 6\end{array}\right)+r^{*}\left(\begin{array}{c}0 \\ -1\end{array}\right) \quad \Rightarrow\left(\begin{array}{l}N \\ y \\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 / 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}a \\ a \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}b \\ 0 \\ b\end{array}\right) \)
\( \left.E_{2} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}12 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+a\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+6 \begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
Elenen or
Gresuch is st di Granade duch
\( z=s \in R \)
\( A+r+s=3 \quad \) Beide Elengn
\( \frac{a=3-r-5}{11 a+c} \)

---

hallo

haben Sie mein Bild gesehen?

---

Du schriebst:

wie so schreiben sie [1,1,1]  ist es nicht (1,2,0)?

Das ist beides richtig. Beide Formen beschreiben die gleiche Gerade. Eine Parameterform für eine Gerade ist nie eindeutig. Die Schnittgerade \(s\) $$s: \space \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} $$kannst Du durch Substitution \(r = t+ 1\) ... $$\begin{aligned} s: \space \vec x &= \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + (t+ 1) \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} +  \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}  \\ &= \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\end{aligned}$$... so umformen, dass der Aufpunkt zu \((1|2|0)\) wird.

---

haben Sie mein Bild gesehen?

Ja - und was ist Deine Frage - bzw. wie könnnen wir Dir helfen?

---

hallo

haben Sie mein Bild gesehen?

ist es richtig was ich geschrieben habe?

---

Hallo Warren,

ist es richtig was ich geschrieben habe?

So weit ich es entziffern kann, ist a) korrekt.

Bei b) ist Dir ein Fehler passiert. Oben rechts auf dem Blatt steht $$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-r\\ r\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-s\\ 0\\ s\end{pmatrix}$$.. das ist noch richtig und dann lese ich$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ \colorbox{#ff8888}{0} \end{pmatrix}$$Da wo ich die \(\colorbox{#ff8888}{0} \) markiert habe, müsste eine \(1\) stehen.

Tipp: Wenn Du den Richtungsvektor \((-1|0|1)\) der Parameterform in die Koordinatenform \(x+y+z=3\) einsetzt, so muss auf der (hier) linken Seite eine \(0\) stehen. Ansonsten wäre der Richtungvektor falsch; also:$$x+y+z = 1 + 0 + (-1) = 0 \space \checkmark $$Der Teil für \(E_2\) ist wieder richtig.

Bei c) hast Du nichts geschrieben. Aber das war ja auch die Frage, die Du hier gestellt hast ... ;-)

---

Hallo Wemer

Danke Für Ihre Hilfe

Genau habe ich nichts geschrieben denn ich versuche zu vestehen

vielleicht haben Sie einen Vorschlag

---

([1, 1, 1] + r·[0, 1, -1] - [-1, 1, 3])·[0, 1, -1] = 0 → r = -1

Q = [1, 1, 1] - 1·[0, 1, -1] = [1, 0, 2]

Jetzt locker die Gerade durch P2 und Q aufstellen

g: X = [-1, 1, 3] + r·[2, -1, -1]

Wie berechnen Sie diese reihe um Q zu erhalten?

---

Wie berechnen Sie diese reihe um Q zu erhalten?

Das rote ist eine Gleichung die du zusammenfasst und nach r auflöst.

Schreibe die Gleichung mal auf und vereinfache sie so weit wie möglich und löse sie nach r auf. Das schaffst du!

---

Hallo Warren,

Da stehen vier mehr oder weniger ausführliche Antworten zu Deiner Frage und ich fürchte, dass Du keine von denen vollständig verstanden hast :-/

Wie berechnen Sie diese reihe um Q zu erhalten?

So wie es der Mathecoach oben beschrieben hat:

Als nächstes berechnet man einen Punkt Q auf der Geraden s, sodass die Strecke P₂Q senkrecht zur geraden s ist.

Die Gerade \(s\) ist $$s: \space \vec x = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}$$Die Gerade bildet die Menge aller Punkte auf der Geraden und welcher Punkt ausgewählt wird, bestimmt der Parameter \(r\). Von irgendeinem dieser Punkte - ich nenne ihn mal \(Q\) - ziehe ich den Punkt \(P_2\) ab. Somit erhalte ich den Vektor \(\vec{P_2Q}\). $$\vec{P_2Q} = Q - P_2$$den Punkt \(Q\) kenne ich noch nicht, aber ich weiß, dass er auf der Geraden \(s\) liegen muss - also \(Q = s(r_Q)\):$$\vec{P_2Q} = s(r_Q) - P_2$$Das \(r_Q\) ist jetzt genau der Wert für \(r\), den man bei \(s\) einsetzen muss, um zu \(Q\) zu kommen.

Dieser Vektor \(P_2Q\) soll nun senkrecht auf \(s\) stehen, d.h. sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor \((0|1|-1)\) von \(s\) muss \(=0\) sein:$$\begin{aligned} \vec{P_2Q} \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} &= 0 \\ \left( Q - P_2 \right) \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} &= 0 \\ \left( \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + r_Q \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 3\end{pmatrix}\right)  \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}  &= 0\\ \left( \begin{pmatrix}2\\ 0\\ -2\end{pmatrix} + r_Q \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} &= 0 \\ 2 + 2r_Q = 0 \\ r_Q = -1\end{aligned}$$Dieses \(r_q\) setzt man jetzt bei \(s\) ein ... $$Q = s(r_Q) = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + (-1)\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}$$ ... und erhält \(Q\)

---

hallo

E1: X+Y-Z=2 und E2: 2X-Y-Z=0

geben Sie eine Gerade an,die in E1 liegt und Senkrecht zur Schnittgeraden der beiden Ebenen verlauft

(1,1,-1)*(2,-1,-1)

g:X= (1,1,-1)+r(-2,-1,-3)

stimmt das?

---

.. stimmt das?

Nein. Der Punkt \((1|\, 1|\, -1)\) liegt nicht in \(E_1\) und \((-2|\, -1|\, -3)\) verläuft parallel zur Schnittgeraden und nicht senkrecht dazu.
Besser $$g: \quad x = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-4\\ 5\\ 1\end{pmatrix}$$ (klick hier)
Stelle bitte dafür eine neue Frage!

Answer 2

Hallo Warren,

Es ist eine Gerade der Form \(\vec x = P_2 + \vec r_2 \cdot t\) gesucht, wobei das \(P_2\) bereits bekannt ist. Von dem Vektor \(\vec r_2\) wissen wir, dass er senkrecht auf der Schnittgeraden stehen soll und damit auch senkrecht auf dem Kreuzprodukt der beiden Normalvektoren. Mit $$E_1: \space x+y+z=3, \quad \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \vec x = 3, \quad n_1 = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\ E_2: \space 2x-y-z=0, \quad \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \vec x = 0, \quad n_2 = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix}$$muss also gelten $$\vec r_2 \cdot (n_1 \times n_2) = 0, \quad n_1 \times n_2 = \begin{pmatrix}0\\ 3\\ -3\end{pmatrix}$$Weiter muss es auf der gesuchten Geraden einen Punkt - und damit ein \(t=t_s\) geben, welches gleichzeitig beide Ebenengleichungen erfüllt. Dazu setze ich die Geradengleichung in die Ebenengleichungen ein:$$n_1 \cdot (P_2 + \vec r_2 \cdot t_s) = 3 \\ n_2 \cdot (P_2 + \vec r_2 \cdot t_s) = 0$$Multipliziere ich die erste der drei Gleichungen mit \(t_s\), setze \( \vec r = t_s \cdot \vec r_2\) und sortiere etwas um, dann erhalte ich $$\begin{aligned} (n_1 \times n_2) \cdot \vec r &= 0 \\ n_1 \cdot \vec r &= 3 - n_1 \cdot P_2 \\ \vec n_2 \cdot \vec r &= 0 - n_2 \cdot P_2 \end{aligned}$$und dies ist ein ganz normales lineares Gleichungssystem mit \(\vec r\) als Vektor der Unbekannten - in Zahlen gegossen:$$\begin{pmatrix}0& 3& -3\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& -1\end{pmatrix} \cdot \vec r = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix}$$Mit der Lösung $$\vec r = \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix}$$Eine Parameterform der gesuchten Geraden \(g\) lautet also $$g: \space \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ -1\\ -1\end{pmatrix} t$$Und zur Veranschaulichung noch mal in Geoknecht3D

(klick auf das Bild. Dann öffnet sich die Szene in Geoknecht3D und Du kannst sie mit der Maus rotieren. So gewinnst Du einen besseren räumlichen Eindruck)

Answer 3

Schnittgerade bestimmen:

Addiere die Ebenengleichungen. Du erhältst 3x=3, bzw. x=1.

x=1 in E1 oder E2 liefert y+z=2.

Auf der Schnittgeraden liegen also Punkte der Form (2|y|2-y).

Ich wähle zwei willkürlich aus: Q1(1|0|2); Q2(1|2|0)

Der Richtungsvektor ist u=[0|2|-2].

Gesucht ist ein Punkt Q3 auf der Geraden, sodass der Vektor Q3P3 orthogonal zu u verläuft.

Nun versuch den Rest mal selbst.

:-)

Answer 4

Aloha :)

Wir bestimmen zuerst die Schnittgerade der beiden Ebnenen$$E_1:\;x+y+z=3\quad;\quad E_2:\;2x-y-z=0$$Dazu stellen wir die erste Ebenengleichung um, \(z=3-x-y\), und setzen \(z\) in die zweite Ebenengleichung ein:$$0=2x-y-z=2x-y-(3-x-y)=3x-3\quad\Rightarrow\quad x=1$$Wir setzen \(x=1\) in die erste Ebenengleichung ein und finden noch:$$1+y+z=3\quad\Rightarrow\quad y=2-z$$Damit können wir die Schnittgerade in Parameterform hinschreiben:$$g_S:\;\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2-z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$$

Wir brauchen nun den Vektor, des senkrecht auf dem Richtungsvektor von \(g_S\) steht und durch den Punkt \(P_2(-1|1|3)\) geht. Dazu nehmen wir uns einen beliebigen Punkt von der Schnittgeraden, z.B. den Aufpunkt \(A(1|2|0)\), und verbinden ihn mit \(P_2\) zu einem Hilfsvektor \(\vec h\):$$\vec h=\overrightarrow{AP_2}=\vec p_2-\vec a=\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}$$Von diesem benötigen wir nur den Anteil \(\vec h_\perp\) der senkrecht auf dem Richtungsvektor von \(g_S\) steht. Dazu ziehen wir den parallelen Anteil \(\vec h_{\parallel}\) ab, den wir durch Projektion von \(\vec h\) auf den Richtungsvektor von \(g_S\) erhalten:

$$\vec h_\perp=\vec h-\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}-\left(\frac{\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\right\|^2}\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec h_\perp}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}-\frac{1+3}{(\sqrt{2})^2}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir die gesuchte Gerade gefunden:$$g:\,\vec x=\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$