Der Punkt Pa(a / f2(a) ) mit a ∈ R a>0 sei ein beliebiger Punkt auf dem Graphen G2

Question

Aufgabe:

f₂(x)= exp^(-0,5x)(8x-16)

f_k(x)= exp^(-x/k)(x-8k)

Der Punkt P_a(a / f₂(a) ) mit a ∈ R a>0 sei ein beliebiger Punkt auf dem Graphen G₂, und t_a sei die Tangente in P_a, an den Graphen G₂. Ermitteln Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass t_a die x-Achse im Punkt R ( 2 /10) schneidet.

Die Schar aller Wendetangenten an G_k sei mit t_k bezeichnet. Weisen Sie nach, dass alle Tangenten der Schar t zueinander parallel verlaufen.

Problem/Ansatz:

Comments

Der Punkt (2/10) liegt nicht auf der x-Achse. Meinst du (2/0) ?

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In Version 2 könntest du auch gleich den Rest verbessern.

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Achso, ja, ich meine (2/0)

Answer 1

f₂'(x)=(16-4x)*e^(-0,5x) ==> Steig. der Tangente t_a ist m=(16-4a)*e^(-0,5a)

Mit y=mx+n und Einsetzen von P_a ist das:

e^(-0,5a)*(8a-16)=(16-4a)*e^(-0,5a)*a+n

==>  n=(4a^2-8a-16)*e^(-0,5a)

Also t_a: y=(16-4a)*e^(-0,5a)*x+(4a^2-8a-16)*e^(-0,5a)

(2;0) einsetzen gibt

0 = (16-4a)*e^(-0,5a)*2+(4a^2-8a-16)*e^(-0,5a)

<=> 0 = (32-8a+4a^2-8a-16)*e^(-0,5a)

<=>0 = 16-16a+4a^2

<=>  a=2

b)  f _k' ' (x) = (x-10k) *e^(-x/k) / k^2

Das ist nur 0 für  x=10k, also ist dort der Wendepunkt.

Und die Steigung der Wendetangente

f _k ' (10k) = (9k-10k)*e^(-1ok/k) / k = -k *e^(-10) / k = -e^(-10) .

Das hängt nicht von k ab, also sind alle Wendetangenten parallel.

Comments

Vielen vielen Dank! Jetzt weiß ich, wie es geht.

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Hallo nochmal. Wie kommt man auf die Steigung der Tangente bei a ? :)

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Okay, ich weiß jetzt. Hatte mich verrechnet.