Flächeninhalt des Rechtecks berechnen

Question

Aufgabe: Berechnen sie den Flächeninhalt des Rechtecks, das durch die Vektoren AB und AC und den eingeschlossenen Winkel 60 Grad festgelegt ist.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich das dann?

Die Punkte sind A (5/3/2) B (1/7/2) und C (1/3/6)

AB wäre also (-4 /4/0) (als Vektor) und AC  (0/-4/4)

Comments

Inwiefern wird "durch die Vektoren AB und AC und den eingeschlossenen Winkel 60 Grad" ein Rechteck festgelegt?

BTW: \( \vec{AC}=\begin{matrix} -4\\0\\4 \end{matrix} \)

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Ich habe meine Antwort korrigiert.

Es ist kein Rechteck, sondern es sind drei Punkte des Parallelogramms.

Wenn man sich ein Rechteck mit der Länge gleich der Grundseite des Dreiecks und der Breite gleich der Höhe vorstellt dann hätten wir drei Rechteck, deren Fläche (16) aber gleich ist.

Answer 1

AC = (-4;0;4),

wieso ist es ein Rechteck, wenn der eingeschlossene Winkel 60° ist?

Das Skalarprodukt berechnet die Fläche des Parallelogramms das Dreieck ist halb so groß.

Comments

Das Skalarprodukt berechnet die Fläche des Parallelogramms

Hallo Hogar,

das ist leider falsch. Der Betrag des Vektorprodukts ergibt den Flächeninhalt.

:-)

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Stimmt! Jetzt muss man nur noch wissen, wie dieser Wert ermittelt wird bzw. wo dieser Wert mitgeteilt wurde.

Answer 2

Hallo,

wenn Du den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen möchtest, das von den beiden Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) aufgespannt wird, so geht das mit Hilfe des Kreuz-(bzw. Vektor-)produkts. Die Fläche \(F\) ist$$\begin{aligned} F &= |\vec{AB} \times \vec{AC}| \\&= \left| \begin{pmatrix}-4\\ 4\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix} \right| \\&= \left| \begin{pmatrix}16\\ 16\\ 16\end{pmatrix} \right| \\&= 16 \sqrt 3 \approx 27,71 \end{aligned} $$Falls Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte.