Zeigen Sie, dass f(x)=log(log x) streng monoton wachsend ist, Bestimmen Sie die Nullstellenmenge u.a.

Question

(a) Finden Sie die kleinste natürliche Zahl n mit log(n) > 3.
(b) Wir definieren f : IR_>1 -> IR durch f (x) := log (log x). Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist und dass

lim f (x) = ∞.

x -> ∞
(c) Bestimmen Sie die Nullstellenmenge von f .
(d) Finden Sie die kleinste natürliche Zahl n mit f (n) 1.
(e) Geben Sie explizit eine natürliche Zahl n an mit f (10n) > 3.
(Begründung erforderlich!).

 

Wäre super, wenn mir jemand bei den Aufgaben helfen könnte. Da diese die meisten Punkte geben, würde ich sie auch gerne komplett lösen.

Comments

Schön, dass da noch die ganze Aufgabe kommt. Wir hatten gestern bei (a) und (e) schon einige Unklarheiten in der Aufgabenstellung geklärt.

vgl. ähnliche Aufgabe: https://www.mathelounge.de/7339/kleinste-naturliche-zahl-n-mit-log-n-grosser-als-3-finden

Was du aber hier vergessen hast: Die Definition Singhof: log sei der natürliche Logarithmus, musst du jedes Mal angeben. Sonst löst dir das jeder mit dem 10er- Logarithmus vor.

Eine Vermutung war dann auch, dass 10n in (e) 10^n sein soll; steht jetzt doch nicht wieder so da vgl.:

Ungleichung bei (d) auch '>' ?

Answer 1

a) Ich nehme an, dass es um den Zehnerlogarithmus geht.

Dann gilt log(1000) = log(10³)=3, also zum Beispiel log(1001) > 3.

b) Bilde die Ableitung von f:
f'(x) = 1/(x*ln(10)*log(x))

Für x>1 gilt log(x)>0, also 1/(x*ln(10)*log(x))=f'(x)>0, also ist f monoton wachsend.

Insbesondere gilt für kein x im Definitionsbereich f'(x) = 0, also ist f streng monoton wachsend.

Für den Grenzwert muss bekannt sein, dass log(x) für x gegen Unendlich gegen Unendlich geht.

Dann handelt es sich um eine Superposition divergenter Ausdrücke, die selbst wieder divergiert.

Möglicherweise kann man das so aufschreiben:

lim_x→∞ log(log(x)) = lim_y→∞ log(y) =∞

wobei der erste Schritt eben aus lim_x→∞ log(x) =∞ und der Stetigkeit des Logarithmus folgt.

c) Gesucht ist

0 = log(log(x))  | 10^(...)

1 = log(x) | 10^(...)

10 = x

Die einzige Nullstelle ist x = 10.

d) Da fehlt wohl ein Vergleichszeichen, vermutlich ist

f(n) > 1 gemeint.

log(log(x)) > 1

Wegen der Monotonie kann man auf beiden Seiten 10^{...} nehmen, ohne dass sich das Relationszeichen ändert.

log(x) > 10

x > 10¹⁰

Das kleinste x für das das gilt ist

x = 10¹⁰+1

 

e) log(log(10n)) > 3

Nach den Logarithmengesetzen:
log(log(10)+log(n)) > 3

log(1+log(n)) > 3

1+log(n) > 1000

log(n) > 999

n > 10⁹⁹⁹

Zum Beispiel 10⁹⁹⁹+1, das ist eine 1 mit 998 Nullen und einer 1 am Ende. Ich schreib sie jetzt mal aus Platzgründen nicht hier hin.

Answer 2

Also ich hab das so gelöst (meine Schreibweise ist grauenhaft^^)

1.

log(n) > 3         |e^

e^log(n)>e^3

n>e^3

n>20,0855369

n=21

2.

streng monoton wachsend: Nach §6 2.3 ist log streng monoton wachsend!

lim f(x)=∞ für x→∞:  Nach §6 2.7 ist lim logx=∞ für x→∞. Daraus folgt, dass lim log(logx)=lim log(∞)=∞ für x→∞

3.

Damit log(x)=0 ist, muss x=1 sein. Dementsprechend muss bei log(log(x)) das log(x)=1 sein.

log(x)=1      |e^

e^log(x)=e^1

x=e

Also ist x=e eine Nullstelle.

4.

log(log(x))≥1    |e^

log(x)≥e^1        | e^

x≥e^e

x≥15,154...

x=16

5.

log(log(10^n)>3     |e^

log(10^n)>e^3        |e^

10^n>e^e^3,      da e<3, ist e^3<3^3, also kann man für n=3^3=9 nehmen

10^9>e^e^3

 

Wie gesagt, die Schreibweise ist nicht die beste (hat bis jetzt auf den Blättern aber immer gereicht ^^)

Nur bei der 2 bin ich mir nicht sicher ob das so reicht, oder ob die ein bisschen mehr sehen wollen, als bloß das Skript zu zitieren :D

Comments

Falls du übrigens Lösungen zur 27, 29 oder 30 hast, würde ich mir die gerne mal angucken :D

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Bei (e) nimmst du für n die Zahl 3^2 = 9 nicht 3^3. Das wäre 27 und ginge bestimmt auch.

Es ginge auch

log(10^n)>e^3            nach log-Gesetzen

n log(10) > e^3

n > e^3 / log(10) = 8.729…

wenn man denn log(10) kennt.       [natürlicher Logarithmus!]

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jop, stimmt, danke, da hatte ich einen kleinen Denkfehler. 27 geht zwar auch, aber ich wollte eigentlich 9 nehmen. :D

Answer 3

zu: "Wir definieren f : IR>1 → IR durch f(x) := log(logx)." Geben Sie explizit eine natürliche Zahl n an mit f(10ⁿ) > 3.

 

Wenn du das so allgemein lösen sollst, kannst du höchstens f(10n) = 3 umformen.

f^-1 sei die Inverse Funktion von f , in einem Bereich in dem beides ex.

f(10x) = 3           |f^-1

f ^-1(f(10x)) = 10x = f^-1 ( 3)

x =  (f^-1 ( 3)) /10       muss jetzt auf die nächste natürliche Zahl auf oder abgerundet werden. Dafür oder für den Rest nach dem Komma habt ihr bestimmt ein Symbol im Skript.

Annahme (f^-1 ( 3)) /10     > 1

Fall: f  monoton steigend:

n = x aufgerundet also (f^-1 ( 3)) /10     aufgerundet. 

Fall: f monoton fallend

n = (f^-1 ( 3)) /10     abgerundet. 

Annahme (f^-1 ( 3)) /10     < 1

Fall: f  monoton steigend:

n = 1

Fall: f monoton fallend

keine Lsg.